Prinsip Aksi Terkecil

Prinsip aksi terkecil menyatakan bahwa jalur fisik yang diikuti oleh suatu sistem antara dua konfigurasi adalah jalur di mana integral aksi bersifat stasioner.

Definition

Prinsip aksi terkecil adalah pernyataan bahwa suatu sistem mekanis berkembang sepanjang lintasan di mana aksi, integral dari Lagrangian terhadap waktu, bersifat stasioner di bawah variasi kecil jalur yang menjaga titik akhir tetap.

Scope

Topik ini mencakup fungsional aksi sebagai integral waktu dari Lagrangian, prinsip aksi stasioner Hamilton, kalkulus variasi yang digunakan untuk mengekstraksi jalur fisik, dan perbedaan antara prinsip Maupertuis (aksi terpendek) yang lebih tua dan prinsip Hamilton. Ini memotivasi mengapa satu pernyataan variasi dapat mengkodekan seluruh mekanika.

Core questions

• Apa itu aksi, dan apa artinya aksi itu bersifat stasioner?
• Bagaimana prinsip Hamilton berbeda dari prinsip aksi terkecil Maupertuis yang lebih tua?
• Mengapa satu prinsip variasi dapat mereproduksi semua dinamika Newtonian?

Key concepts

• Fungsional aksi
• Kalkulus variasi
• Jalur stasioner (ekstremal)
• Kondisi titik akhir (batas)
• Aksi terpendek

Key theories

Prinsip Hamilton

Di antara semua jalur dengan titik akhir tetap dalam ruang konfigurasi, gerakan fisik adalah jalur yang integral aksinya memiliki variasi pertama nol, membuat aksi menjadi stasioner.

Prinsip aksi terpendek Maupertuis

Bentuk variasi yang lebih awal mempertahankan energi tetap dan membuat aksi terpendek stasioner di sepanjang jalur dalam ruang konfigurasi, yang setara dengan prinsip Hamilton dalam kondisi yang sesuai.

Clinical relevance

Prinsip aksi adalah jembatan konseptual dari fisika klasik ke fisika modern: prinsip ini digeneralisasi ke teori medan relativistik dan menjadi dasar formulasi integral lintasan Feynman dalam mekanika kuantum, di mana setiap lintasan berkontribusi dengan bobot yang ditentukan oleh aksi.

History

Maupertuis mengusulkan prinsip aksi terkecil pada tahun 1740-an berdasarkan alasan metafisik, yang kemudian diletakkan oleh Euler dan Lagrange pada pijakan matematis yang kokoh melalui kalkulus variasi. Hamilton merumuskannya kembali pada tahun 1830-an menjadi prinsip aksi stasioner modern terhadap waktu, yang menjadi titik awal pemersatu bagi mekanika Lagrangian dan Hamiltonian.

Key figures

• Pierre Louis Maupertuis
• Leonhard Euler
• Joseph-Louis Lagrange
• William Rowan Hamilton

Seminal works

• lanczos1970
• goldstein2002

Frequently asked questions

Apakah aksi benar-benar diminimalkan?

Seringkali, tetapi tidak selalu. Kondisi penentu adalah bahwa aksi bersifat stasioner, yang berarti variasi pertamanya lenyap; untuk jalur yang cukup panjang, titik stasioner dapat berupa titik pelana daripada minimum.

Bagaimana prinsip ini berhubungan dengan mekanika kuantum?

Dalam integral lintasan Feynman, amplitudo kuantum menjumlahkan kontribusi dari semua lintasan yang dibobot oleh eksponensial aksi; jalur aksi terkecil klasik muncul di mana kontribusi di dekatnya bertambah secara konstruktif.