Proses Lahir-Mati

Proses lahir-mati adalah rantai Markov waktu-kontinu pada bilangan bulat yang meningkat atau menurun satu per satu, dengan laju kelahiran dan kematian yang bergantung pada ukuran populasi saat ini.

Definition

Proses lahir-mati adalah rantai Markov waktu-kontinu pada bilangan bulat non-negatif yang transisinya hanya naik satu dengan laju kelahiran yang bergantung pada keadaan dan turun satu dengan laju kematian yang bergantung pada keadaan, sehingga jalur sampelnya berubah dengan langkah satuan.

Scope

Topik ini mencakup struktur laju transisi tetangga terdekat, kasus khusus proses kelahiran murni dan kematian murni, solusi transien dan probabilitas kepunahan, distribusi stasioner yang diperoleh dari keseimbangan terperinci, dan aplikasi pada populasi dan antrean termasuk sistem M/M/1 dan M/M/c.

Core questions

• Bagaimana laju kelahiran dan kematian yang bergantung pada keadaan menentukan dinamika?
• Kapan proses lahir-mati memiliki distribusi stasioner, dan bagaimana bentuknya?
• Bagaimana probabilitas kepunahan dan ledakan dihitung?
• Bagaimana sistem antrean muncul sebagai proses lahir-mati?

Key theories

Keseimbangan terperinci dan distribusi stasioner

Karena transisi ke keadaan tetangga, proses lahir-mati dapat dibalik dan distribusi stasionernya diperoleh secara eksplisit dari persamaan keseimbangan terperinci sebagai produk rasio laju kelahiran-ke-kematian yang berurutan.

Analisis kepunahan dan penyerapan

Argumen langkah pertama dan fungsi pembangkit memberikan probabilitas kepunahan dan waktu yang diharapkan untuk penyerapan ketika nol adalah keadaan penyerap, yang mengkarakterisasi apakah suatu populasi mati dan seberapa cepat.

Clinical relevance

Proses lahir-mati memodelkan populasi biologis, penyebaran dan pembersihan infeksi, jumlah pelanggan dalam antrean, dan okupansi saluran komunikasi; antrean M/M/1, proses lahir-mati dengan laju kedatangan dan layanan konstan, adalah contoh kanonik yang menghubungkan topik ini dengan teori antrean.

History

Proses kelahiran murni diperkenalkan oleh Yule pada tahun 1925 untuk memodelkan pertumbuhan genus biologis, Feller menganalisis proses lahir-mati umum pada tahun 1930-an dan 1940-an, dan kerangka kerja ini menjadi pusat teori antrean melalui karya Erlang dan para penerusnya tentang lalu lintas telepon.

Key figures

• William Feller
• George Udny Yule
• Alfred Lotka

Seminal works

• karlinTaylor1975

Frequently asked questions

Apa yang membuat suatu proses menjadi proses lahir-mati?

Ini adalah rantai Markov waktu-kontinu pada bilangan bulat yang transisinya hanya bergerak ke tetangga terdekat, meningkatkan atau mengurangi hitungan satu per satu sesuai dengan laju kelahiran dan kematian.

Mengapa proses lahir-mati selalu dapat dibalik?

Karena ruang keadaan bersifat linier dan transisi hanya antara keadaan yang berdekatan, aliran antara dua tetangga mana pun seimbang dalam ekuilibrium, sehingga persamaan keseimbangan terperinci berlaku dan memberikan distribusi stasioner secara langsung.