Paradoks Teori Himpunan dan Teori Tipe

Himpunan semua himpunan yang tidak mengandung dirinya sendiri, baik mengandung maupun tidak mengandung dirinya sendiri — paradoks Russell menggulingkan teori himpunan naif dan membentuk kembali fondasi logika.

Definition

Paradoks teori himpunan adalah kontradiksi yang dapat diturunkan dalam teori himpunan naif dari prinsip pemahaman tak terbatas (unrestricted comprehension) bahwa setiap kondisi mendefinisikan suatu himpunan; teori tipe menghalanginya dengan mengurutkan entitas ke dalam hierarki tipe dan melarang suatu himpunan menjadi anggotanya sendiri.

Scope

Topik ini mencakup paradoks logis dan teori himpunan serta respons fundamental yang ditimbulkannya. Ini membahas paradoks Russell tentang himpunan semua himpunan yang bukan anggotanya sendiri, paradoks Burali-Forti tentang ordinal terbesar, dan paradoks Cantor tentang himpunan universal; diagnosis Russell melalui prinsip lingkaran setan (vicious-circle principle) dan teori tipe bercabang (ramified theory of types) yang dihasilkan dalam Principia Mathematica; serta respons alternatif dari teori himpunan aksiomatik (Zermelo-Fraenkel) yang membatasi pemahaman (comprehension) untuk menghindari paradoks.

Core questions

• Asumsi apa dalam teori himpunan naif yang menghasilkan paradoks Russell?
• Apakah menghindari paradoks memerlukan prinsip lingkaran setan dan pembatasan tipe?
• Bagaimana teori tipe dan teori himpunan aksiomatik berbeda sebagai respons?
• Apakah paradoks logis pada dasarnya sama dengan paradoks semantik?

Key concepts

• pemahaman tak terbatas
• paradoks Russell
• paradoks Burali-Forti dan Cantor
• prinsip lingkaran setan
• teori tipe
• aksioma pemisahan

Key theories

Teori tipe bercabang

Russell menghalangi paradoks dengan prinsip lingkaran setan dan hierarki tipe di mana suatu entitas hanya dapat didefinisikan atas entitas yang lebih rendah dalam hierarki, mencegah keanggotaan diri dan definisi yang dapat diterapkan pada diri sendiri.

Pemahaman terbatas

Teori himpunan aksiomatik (Zermelo-Fraenkel) meninggalkan pemahaman tak terbatas untuk pemisahan dan penggantian, sehingga tidak ada himpunan dari semua himpunan yang bukan anggotanya sendiri yang dapat dibentuk, melarutkan paradoks Russell tanpa hierarki tipe.

History

Russell menemukan paradoksnya pada tahun 1901 saat mempelajari logisisme Frege, yang merusak Hukum Dasar V Frege. Teori tipe Russell tahun 1908 dan Principia Mathematica tahun 1910 menawarkan satu solusi; aksiomatisasi Zermelo tahun 1908, yang kemudian diperluas oleh Fraenkel, menawarkan solusi lain, dan kedua pendekatan tersebut menjadi dasar fondasi modern dan teori tipe sederhana yang digunakan dalam logika dan ilmu komputer.

Debates

Tipe vs. teori himpunan aksiomatik

Apakah paradoks paling baik dihindari dengan hierarki tipe yang didasarkan pada prinsip lingkaran setan atau dengan membatasi aksioma keberadaan himpunan, dan apa implikasi dari setiap pendekatan tentang sifat himpunan, kelas, dan definisi predikatif versus impredikatif.

Key figures

• Bertrand Russell
• Alfred North Whitehead
• Gottlob Frege
• Ernst Zermelo
• Cesare Burali-Forti

Seminal works

• russell1908
• whiteheadrussell1910

Frequently asked questions

Apa itu paradoks Russell dalam istilah sederhana?

Pertimbangkan himpunan R dari semua himpunan yang bukan anggotanya sendiri. Tanyakan apakah R adalah anggota dari dirinya sendiri. Jika ya, maka berdasarkan definisinya sendiri seharusnya tidak; jika tidak, maka ia memenuhi syarat dan seharusnya. Salah satu jawaban bertentangan dengan yang lain, yang menunjukkan bahwa asumsi teori himpunan naif bahwa setiap properti mendefinisikan suatu himpunan pasti salah.