Sistem Modal dan Aksiomanya

Aksioma modal yang berbeda mengkodekan konsepsi yang berbeda tentang keniscayaan, dan masing-masing sesuai dengan kondisi struktural pada relasi aksesibilitas.

Definition

Sistem modal normal adalah seperangkat teorema yang tertutup di bawah aturan logika klasik ditambah aksioma distribusi K dan aturan keniscayaan (necessitation rule), dengan sistem yang lebih kuat diperoleh dengan menambahkan aksioma karakteristik yang sesuai dengan properti relasi aksesibilitas.

Scope

Topik ini mencakup hierarki standar sistem modal normal yang dibangun di atas sistem dasar K dengan menambahkan aksioma seperti T (refleksivitas), 4 (transitivitas), B (simetri), dan 5 (Euklideanitas), menghasilkan sistem seperti T, S4, dan S5. Ini membahas teori korespondensi — kecocokan sistematis antara aksioma modal dan kondisi kerangka — bersama dengan keabsahan (soundness), kelengkapan (completeness), dan pertanyaan tentang sistem mana yang paling baik menangkap keniscayaan metafisik, logis, atau epistemik.

Core questions

• Aksioma mana yang harus mengatur jenis keniscayaan tertentu?
• Bagaimana aksioma modal sesuai dengan kondisi pada relasi aksesibilitas?
• Apakah S5 adalah logika yang tepat untuk keniscayaan metafisik, ataukah sistem yang lebih lemah lebih sesuai?
• Apa yang ditetapkan oleh hasil keabsahan dan kelengkapan untuk sistem-sistem ini?

Key concepts

• sistem K dan keniscayaan
• aksioma T, 4, B, 5
• kerangka refleksif, transitif, simetris, Euklidean
• teori korespondensi
• S4 dan S5
• kelengkapan melalui model kanonik

Key theories

Teori korespondensi

Setiap aksioma modal karakteristik sesuai dengan properti relasi aksesibilitas — T untuk refleksivitas, 4 untuk transitivitas, B untuk simetri, 5 untuk Euklideanitas — sehingga suatu sistem absah dan lengkap sehubungan dengan kelas kerangka yang memenuhi kondisi tersebut.

Implikasi ketat dan sistem Lewis

C. I. Lewis memperkenalkan sistem S1-S5 untuk memformalkan implikasi ketat dan menghindari paradoks implikasi material, mendasari studi aksiomatik modern tentang modalitas.

History

Buku Lewis dan Langford tahun 1932, Symbolic Logic, memperkenalkan sistem S1-S5 secara aksiomatik. Setelah semantik relasional Kripke, teori korespondensi mengungkapkan hubungan sistematis antara aksioma dan kondisi kerangka, dan kelengkapan ditetapkan melalui konstruksi model kanonik, yang dikodifikasi dalam buku teks seperti Hughes dan Cresswell.

Debates

Sistem mana yang menangkap keniscayaan metafisik?

Apakah logika keniscayaan metafisik adalah S5 yang kuat, di mana apa yang mungkin adalah mungkin secara non-kontingen, atau sistem yang lebih lemah yang memungkinkan ruang kemungkinan itu sendiri bervariasi di seluruh dunia.

Key figures

• C. I. Lewis
• Saul Kripke
• G. E. Hughes
• M. J. Cresswell
• Johan van Benthem

Seminal works

• lewislangford1932
• hughescresswell1996

Frequently asked questions

Apa perbedaan antara S4 dan S5?

S4 menambahkan aksioma bahwa apa yang niscaya adalah niscaya secara niscaya (aksesibilitas transitif). S5 selanjutnya menambahkan bahwa apa yang mungkin adalah mungkin secara niscaya (relasi aksesibilitas menjadi relasi ekuivalensi). Dalam S5 status modal dari setiap kalimat itu sendiri non-kontingen, yang oleh banyak orang dianggap sesuai dengan keniscayaan metafisik.