Logika Intuisionistik dan Konstruktivisme

Logika intuisionistik menolak hukum tengah yang dikecualikan, berpendapat bahwa suatu pernyataan matematis benar hanya jika kita dapat membangun bukti darinya.

Definition

Logika intuisionistik adalah logika bukti konstruktif, di mana disjungsi memerlukan bukti dari salah satu disjungsi dan klaim eksistensial memerlukan konstruksi saksi, sehingga hukum tengah yang dikecualikan dan bukti dengan kontradiksi untuk klaim eksistensi umumnya tidak valid.

Scope

Topik ini mencakup logika intuisionistik dan filosofi matematika konstruktivis yang melandasinya. Ini membahas pandangan Brouwer tentang matematika sebagai konstruksi mental, formalisasi Heyting dan interpretasi kondisional-bukti (BHK) dari konektif, kegagalan hukum tengah yang dikecualikan dan eliminasi negasi ganda, semantik Kripke dan topologis untuk logika intuisionistik, serta argumen teori makna Dummett bahwa anti-realisme tentang kebenaran secara umum mendukung logika intuisionistik.

Core questions

• Mengapa hukum tengah yang dikecualikan harus gagal, dan untuk pernyataan mana?
• Apa interpretasi konstruktif dari konektif logis?
• Apakah kasus intuisionisme secara khusus matematis, atau apakah ia menggeneralisasi melalui teori makna?
• Bagaimana model Kripke dan topologis menerangi validitas intuisionistik?

Key concepts

• hukum tengah yang dikecualikan
• bukti konstruktif
• interpretasi BHK
• terjemahan negasi ganda
• model Kripke untuk intuisionisme
• verifikasionisme

Key theories

Interpretasi BHK (kondisional-bukti)

Interpretasi Brouwer-Heyting-Kolmogorov menjelaskan setiap konektif berdasarkan apa yang dianggap sebagai bukti dari pernyataan majemuk, sehingga 'A atau B' memerlukan bukti A atau bukti B, yang menghalangi hukum tengah yang dikecualikan tanpa batas.

Argumen anti-realis Dummett

Dummett berpendapat bahwa teori makna yang dibatasi oleh apa yang dapat dimanifestasikan oleh penutur lebih menyukai semantik kondisional-verifikasi daripada semantik kondisional-kebenaran, dan bahwa anti-realisme ini mewajibkan logika intuisionistik secara menyeluruh, tidak hanya dalam matematika.

History

Brouwer mendirikan intuisionisme pada tahun 1900-an-1920-an sebagai penolakan konstruktivis terhadap matematika klasik; Heyting memformalkan logika intuisionistik pada tahun 1930. Kalkulus masalah Kolmogorov dan interpretasi BHK memperjelas maknanya, Kripke kemudian menyediakan semantik relasional, dan Dummett mengulang intuisionisme sebagai konsekuensi umum dari anti-realisme semantik.

Debates

Apakah anti-realisme menggeneralisasi intuisionisme di luar matematika?

Apakah argumen teori makna Dummett berhasil memperluas kasus logika intuisionistik dari matematika ke wacana secara umum, atau apakah motivasi aslinya secara esensial terkait dengan sifat konstruktif objek matematika.

Key figures

• L. E. J. Brouwer
• Arend Heyting
• Michael Dummett
• Andrey Kolmogorov
• Per Martin-Lof

Seminal works

• heyting1956
• dummett2000

Frequently asked questions

Apakah logika intuisionistik menolak semua bukti dengan kontradiksi?

Tidak semua. Intuisionis menerima pembuktian negasi dengan menurunkan kontradiksi dari asumsi, karena begitulah negasi didefinisikan. Yang mereka tolak adalah menetapkan klaim keberadaan positif atau disjungsi hanya dengan menyangkal negasinya, karena itu tidak menghasilkan saksi konstruktif dan bergantung pada eliminasi negasi ganda, yang tidak valid secara intuisionistik.