असीमित ऑपरेटर

असीमित ऑपरेटर, जैसे कि विभेदन और एक असीमित फलन द्वारा गुणन, पूरे स्थान पर परिभाषित नहीं होते हैं; उन्हें कठोर बनाने के लिए उनके डोमेन और स्व-संलग्नता पर सावधानीपूर्वक ध्यान देने की आवश्यकता होती है।

Definition

एक असीमित ऑपरेटर एक हिल्बर्ट स्पेस के केवल एक सघन उप-स्थान पर परिभाषित एक रैखिक मानचित्र है जिसका मानदंड (norm) सीमित नहीं है; विश्लेषण इसके डोमेन को निर्दिष्ट करने और यह निर्धारित करने पर केंद्रित है कि क्या यह स्व-संलग्न है, जो एक स्पेक्ट्रल अपघटन के लिए आवश्यक शर्त है।

Scope

यह विषय सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटरों और डोमेन की भूमिका, बंद और बंद करने योग्य ऑपरेटरों और ग्राफ, एक असीमित ऑपरेटर के संलग्नक, सममित और स्व-संलग्न ऑपरेटरों के बीच अंतर, स्व-संलग्नता और आवश्यक स्व-संलग्नता के मानदंड, असीमित स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय, और उन्हें एकात्मक समूहों से जोड़ने वाले स्टोन के प्रमेय को शामिल करता है।

Core questions

• एक असीमित ऑपरेटर के डोमेन को इतनी सावधानी से क्यों निर्दिष्ट किया जाना चाहिए?
• एक असीमित ऑपरेटर का संलग्नक सीमित मामले से कैसे भिन्न होता है?
• एक सममित ऑपरेटर को एक वास्तविक स्व-संलग्न ऑपरेटर से क्या अलग करता है?
• स्पेक्ट्रल प्रमेय असीमित स्व-संलग्न ऑपरेटरों तक कैसे विस्तारित होता है?

Key theories

असीमित स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय

प्रत्येक स्व-संलग्न ऑपरेटर, चाहे वह सीमित हो या नहीं, अपने वास्तविक स्पेक्ट्रम पर एक प्रक्षेपण-मूल्यवान माप के विरुद्ध एक समाकल के रूप में एक स्पेक्ट्रल अपघटन होता है, यह परिणाम ऐसे ऑपरेटरों को क्वांटम अवलोकन योग्य के लिए कठोर मॉडल बनाता है।

एक-पैरामीटर एकात्मक समूहों पर स्टोन का प्रमेय

एकात्मक ऑपरेटरों के दृढ़ता से निरंतर एक-पैरामीटर समूह स्व-संलग्न जनरेटर के बिल्कुल अनुरूप होते हैं, जो एक क्वांटम समय विकास के पीछे स्व-संलग्न ऑपरेटर की पहचान करते हैं और इसे गतिशीलता से जोड़ते हैं।

Clinical relevance

असीमित स्व-संलग्न ऑपरेटर क्वांटम यांत्रिकी के अवलोकन योग्य (observables) हैं, जिनमें स्थिति, संवेग और हैमिल्टनियन शामिल हैं; डोमेन और स्व-संलग्नता का सावधानीपूर्वक सिद्धांत यह निर्धारित करता है कि क्या एक क्वांटम प्रणाली में एक सुपरिभाषित, एकात्मक समय विकास है, जो इस विषय को गणितीय भौतिकी के लिए अपरिहार्य बनाता है।

History

वॉन न्यूमैन ने 1929 के आसपास असीमित स्व-संलग्न ऑपरेटरों के कठोर सिद्धांत को विकसित किया ताकि क्वांटम यांत्रिकी को ठोस आधार प्रदान किया जा सके, जिसमें सममित और स्व-संलग्न ऑपरेटरों को अलग किया गया। 1932 का स्टोन का प्रमेय स्व-संलग्न जनरेटर को एकात्मक समय विकास से जोड़ता है।

Key figures

• John von Neumann
• Marshall Stone
• Hermann Weyl

Seminal works

• reedsimon1980
• schmudgen2012

Frequently asked questions

एक असीमित ऑपरेटर का डोमेन इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

एक असीमित ऑपरेटर प्रत्येक सदिश पर कार्य नहीं कर सकता है, इसलिए इसे केवल एक सघन उप-स्थान पर परिभाषित किया जाता है; उस डोमेन का चुनाव यह निर्धारित करता है कि ऑपरेटर स्व-संलग्न है या नहीं और इसलिए क्या स्पेक्ट्रल प्रमेय और भौतिक व्याख्या लागू होती है।

सममित और स्व-संलग्न के बीच क्या अंतर है?

एक सममित ऑपरेटर अपने डोमेन पर अपने संलग्नक से सहमत होता है, लेकिन स्व-संलग्नता के लिए डोमेन को भी संपाती होना आवश्यक है; केवल वास्तविक स्व-संलग्न ऑपरेटर ही स्पेक्ट्रल प्रमेय को स्वीकार करते हैं और एकात्मक विकास उत्पन्न करते हैं।