C*-बीजगणित

एक C*-बीजगणित संकारकों का एक बीजगणित है जो संलग्नक के तहत बंद होता है और एक संगतता पहचान को संतुष्ट करने वाले मानदंड में पूर्ण होता है; यह एक हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध संकारकों की बीजगणितीय संरचना को अमूर्त करता है।

Definition

एक C*-बीजगणित एक जटिल बानाख बीजगणित है जो एक इनवोल्यूशन से सुसज्जित होता है, जैसे कि एक तत्व और उसके संलग्नक के गुणनफल का मानदंड तत्व के मानदंड के वर्ग के बराबर होता है; यह एकल पहचान अमूर्त बीजगणित को हिल्बर्ट स्थान पर संकारकों की तरह व्यवहार करने के लिए प्रेरित करती है।

Scope

यह विषय बानाख और C*-बीजगणित के स्वयंसिद्धों और C*-पहचान, क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के स्पेक्ट्रम और गेलफैंड सिद्धांत को एक सघन स्थान पर सतत फलनों के रूप में, सतत कार्यात्मक कैलकुलस, धनात्मकता और अवस्थाओं, गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण, गेलफैंड-नैमार्क प्रतिनिधित्व प्रमेय, और वॉन न्यूमैन बीजगणित को दुर्बल रूप से बंद संकारक बीजगणित के रूप में शामिल करता है।

Core questions

• कौन से बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक स्वयंसिद्ध संकारक बीजगणितों की संरचना को पकड़ते हैं?
• गेलफैंड सिद्धांत एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित को एक स्थान पर सतत फलनों के साथ कैसे पहचानता है?
• प्रत्येक अमूर्त C*-बीजगणित को हिल्बर्ट स्थान पर संकारकों के रूप में ठोस रूप से कैसे साकार किया जाता है?
• अवस्थाएँ और GNS निर्माण बीजगणित को निरूपणों से कैसे जोड़ते हैं?

Key theories

क्रमविनिमेय बीजगणितों के लिए गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय

इकाई के साथ प्रत्येक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित अपने स्पेक्ट्रम पर सतत फलनों के बीजगणित के लिए सममितीय रूप से समरूपी होता है, जो एक सघन स्थान है, जो क्रमविनिमेय संकारक बीजगणित को सामान्य फलन सिद्धांत में बदल देता है।

गेलफैंड-नैमार्क-सेगल निर्माण और प्रतिनिधित्व प्रमेय

एक C*-बीजगणित पर प्रत्येक अवस्था एक हिल्बर्ट स्थान पर एक प्रतिनिधित्व उत्पन्न करती है, और ये एक साथ दिखाते हैं कि कोई भी C*-बीजगणित संकारकों के एक मानदंड-बंद बीजगणित के लिए सममितीय रूप से समरूपी है, जो अमूर्त सिद्धांत की स्थापना करता है।

Clinical relevance

C*-बीजगणित क्वांटम सिद्धांत और क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिए बीजगणितीय ढांचा प्रदान करते हैं, जहाँ प्रेक्षणीय एक बीजगणित बनाते हैं और अवस्थाएँ धनात्मक कार्यात्मक होती हैं; वॉन न्यूमैन बीजगणित क्वांटम समरूपताओं को वर्गीकृत करते हैं, और यह विषय गैर-क्रमविनिमेय ज्यामिति और भौतिकी के लिए संकारक-बीजगणितीय दृष्टिकोणों का विश्लेषणात्मक आधार है।

History

मरे और वॉन न्यूमैन ने 1936 से पत्रों की एक श्रृंखला में संकारकों के वलयों, अब वॉन न्यूमैन बीजगणित, के सिद्धांत की स्थापना की। गेलफैंड और नैमार्क ने C*-बीजगणितों को स्वयंसिद्ध किया और 1943 में अपने प्रतिनिधित्व प्रमेय को सिद्ध किया, जिससे अमूर्त विषय की स्थापना हुई।

Key figures

• Israel Gelfand
• Mark Naimark
• John von Neumann

Seminal works

• pedersen1989
• murphy1990

Frequently asked questions

C*-पहचान क्या व्यक्त करती है?

यह पहचान कि एक तत्व और उसके संलग्नक के गुणनफल का मानदंड तत्व के मानदंड के वर्ग के बराबर होता है, बीजगणितीय इनवोल्यूशन को मानदंड से इतनी कसकर जोड़ता है कि अमूर्त बीजगणित को हिल्बर्ट स्थान पर संकारकों की तरह व्यवहार करने के लिए मजबूर किया जाता है।

क्रमविनिमेय C*-बीजगणित केवल फलन बीजगणित क्यों होते हैं?

गेलफैंड सिद्धांत दिखाता है कि एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित अपने स्पेक्ट्रम पर सतत फलनों का बीजगणित है, इसलिए क्रमविनिमेय संकारक बीजगणित शास्त्रीय टोपोलॉजी और फलन सिद्धांत तक कम हो जाता है, जबकि गैर-क्रमविनिमेयता वास्तव में क्वांटम विशेषता है।