अभाज्य वितरण और अभाज्य संख्या प्रमेय

अभाज्य संख्या प्रमेय इस अंतर्ज्ञान को सटीक बनाता है कि अभाज्य संख्याएँ लघुगणकीय रूप से विरल होती जाती हैं: एक सीमा तक की अभाज्य संख्याओं की गणना उस सीमा को उसके प्राकृतिक लघुगणक से विभाजित करने के लिए स्पर्शोन्मुख होती है।

Definition

अभाज्य संख्या प्रमेय कहता है कि x से अधिक न होने वाली अभाज्य संख्याओं की संख्या, जिसे pi(x) से दर्शाया जाता है, x को x के प्राकृतिक लघुगणक से विभाजित करने के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से बराबर है, जो x के लघुगणकीय समाकल के समतुल्य है।

Scope

यह विषय अभाज्य-गणना फलन और उसके स्पर्शोन्मुख, चेबीशेव की प्रारंभिक सीमाएँ और साई और थीटा योग फलन, मर्टेंस के प्रमेय, अभाज्य संख्या प्रमेय का कथन और वास्तविक भाग एक की रेखा पर ज़ेटा फलन के अशून्य होने के माध्यम से विश्लेषणात्मक प्रमाण, लघुगणकीय-अभिन्न सन्निकटन, त्रुटि पद और रीमैन परिकल्पना से उनका संबंध, और अभाज्य अंतराल और जुड़वां-अभाज्य अनुमानी को शामिल करता है।

Core questions

• पूर्ण प्रमेय से पहले चेबीशेव की सीमाएँ और मर्टेंस के अनुमान अभाज्य घनत्व को कैसे सीमित करते हैं?
• अभाज्य संख्या प्रमेय ज़ेटा फलन के वास्तविक भाग एक के बराबर होने वाली रेखा पर कोई शून्य न होने के समतुल्य क्यों है?
• लघुगणकीय-अभिन्न सन्निकटन कितना अच्छा है, और त्रुटि पद रीमैन परिकल्पना पर कैसे निर्भर करता है?
• जुड़वां अभाज्य संख्याओं सहित लगातार अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतरालों के बारे में क्या ज्ञात और अनुमानित है?

Key theories

अभाज्य संख्या प्रमेय

1896 में हैडामार्ड और डी ला वैली पॉसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया, यह अभाज्य गणना के लिए अग्रणी स्पर्शोन्मुख देता है; चेबीशेव साई फलन के लिए समतुल्य कथन विश्लेषणात्मक रूप से प्राकृतिक रूप है।

शून्य-मुक्त क्षेत्र और त्रुटि पद

वास्तविक भाग एक की रेखा के बाईं ओर ज़ेटा के लिए शून्य-मुक्त क्षेत्र का आकार अभाज्य संख्या प्रमेय में त्रुटि को नियंत्रित करता है; रीमैन परिकल्पना इष्टतम वर्ग-मूल-प्रकार की त्रुटि देगी।

अभाज्य अंतराल और क्रैमर अनुमानी

x के पास औसत अंतराल x के लघुगणक के बारे में होते हैं; संभाव्य अनुमानी बड़े और छोटे अंतरालों के वितरण की भविष्यवाणी करते हैं, और छलनी की प्रगति ने असीमित रूप से कई परिबद्ध अंतरालों के अस्तित्व को सिद्ध किया है।

Clinical relevance

प्रमेय द्वारा दी गई अभाज्य संख्याओं का घनत्व क्रिप्टोग्राफरों को बताता है कि किसी दिए गए आकार की अभाज्य संख्या खोजने के लिए कितने यादृच्छिक उम्मीदवारों का परीक्षण किया जाना चाहिए, जो सीधे RSA और डिफी-हेलमैन कुंजी पीढ़ी की दक्षता को नियंत्रित करता है।

History

गाउस और लेजेंड्रे ने 1800 के आसपास अभाज्य संख्याओं की स्पर्शोन्मुख गणना का अनुमान लगाया। चेबीशेव ने 1850 के दशक में कठोर ऊपरी और निचली सीमाएँ स्थापित कीं, रीमैन ने 1859 में विश्लेषणात्मक रणनीति की रूपरेखा तैयार की, और हैडामार्ड और डी ला वैली पॉसिन ने 1896 में प्रमाण पूरा किया। सेलबर्ग और एर्डोस ने बाद में 1949 में एक प्रारंभिक प्रमाण दिया।

Key figures

• Bernhard Riemann
• Pafnuty Chebyshev
• Jacques Hadamard
• Charles-Jean de la Vallee Poussin

Seminal works

• davenport2000

Frequently asked questions

क्या अभाज्य संख्या प्रमेय आपको अगली अभाज्य संख्या की भविष्यवाणी करने देता है?

नहीं। यह लंबी श्रेणियों में अभाज्य संख्याओं के औसत घनत्व का वर्णन करता है; यह किसी भी व्यक्तिगत अभाज्य संख्या के स्थान का निर्धारण नहीं करता है, और अभाज्य संख्याएँ छोटे पैमाने पर अनियमित रहती हैं।

प्रमेय रीमैन परिकल्पना से कैसे संबंधित है?

प्रमेय स्वयं बिना शर्त है, लेकिन रीमैन परिकल्पना सन्निकटन में सबसे छोटी संभव त्रुटि को निर्धारित करेगी, यह नियंत्रित करते हुए कि वास्तविक अभाज्य गणना लघुगणकीय समाकल से कितनी दूर भटक सकती है।