छलनी विधियाँ

छलनी विधियाँ व्यवस्थित रूप से उन पूर्णांकों की गणना करती हैं जो अभाज्यों के एक समूह द्वारा विभाज्य संख्याओं को हटाने के बाद शेष रहते हैं, जिससे अभाज्यों, जुड़वां अभाज्यों और लगभग-अभाज्यों पर उपलब्ध सबसे सटीक सीमाएँ प्राप्त होती हैं।

Definition

एक छलनी विधि एक विश्लेषणात्मक-संयोजनात्मक तकनीक है जो चुने हुए समुच्चय से अभाज्यों द्वारा विभाज्य संख्याओं को हटाने के बाद शेष पूर्णांकों के समुच्चय के आकार का अनुमान लगाती है, जिससे अभाज्यों और लगभग-अभाज्यों की गणना के लिए ऊपरी और निचली सीमाएँ प्राप्त होती हैं।

Scope

यह विषय इराटोस्थनीज और लेजेंड्रे की समावेशन-बहिष्करण छलनी और उसकी सीमाओं, ब्रून की संयोजनात्मक छलनी, सेलबर्ग की द्विघात ऊपरी-सीमा छलनी, बड़ी छलनी असमानता, समता समस्या जो छलनी को अकेले अभाज्यों को अलग करने से रोकती है, और ब्रून के प्रमेय, चेन के प्रमेय, और अभाज्यों के बीच सीमित अंतरालों पर आधुनिक परिणामों जैसे अनुप्रयोगों को शामिल करता है।

Core questions

• समावेशन-बहिष्करण गुणजों को कैसे छानता है, और भोली इराटोस्थनीज-लेजेंड्रे छलनी कई छानने वाले अभाज्यों पर नियंत्रण क्यों खो देती है?
• ब्रून और सेलबर्ग की छलनी त्रुटि पदों को कैसे नियंत्रित करती हैं ताकि उपयोगी सीमाएँ मिल सकें?
• समता समस्या क्या है, और यह शास्त्रीय छलनी को अभाज्यों की सटीक गणना करने से क्यों रोकती है?
• छलनी विधियों ने ब्रून के स्थिरांक, चेन के प्रमेय और सीमित अभाज्य अंतरालों जैसे परिणाम कैसे उत्पन्न किए हैं?

Key theories

ब्रून की छलनी और ब्रून का प्रमेय

समावेशन-बहिष्करण को सम या विषम स्तर पर छोटा करके, ब्रून ने उपयोगी ऊपरी सीमाएँ प्राप्त कीं और सिद्ध किया कि जुड़वां अभाज्यों के व्युत्क्रमों का योग अभिसरण करता है, जो पहला प्रमुख छलनी परिणाम था।

सेलबर्ग की छलनी और बड़ी छलनी

सेलबर्ग ने तीव्र ऊपरी सीमाओं के लिए एक द्विघात रूप को अनुकूलित करके संयोजनात्मक विच्छेदन को प्रतिस्थापित किया, जबकि बड़ी छलनी अवशेष वर्गों और वर्णों पर मजबूत माध्य-मान अनुमान प्रदान करती है।

समता समस्या और आधुनिक प्रगति

छलनी स्वयं अभाज्य गुणनखंडों की सम बनाम विषम संख्या वाले संख्याओं को अलग नहीं कर सकती हैं; अन्य इनपुट के साथ छलनी का संयोजन चेन के प्रमेय और, हाल ही में, अभाज्यों के बीच अनंत रूप से कई सीमित अंतरालों को उत्पन्न करता है।

Clinical relevance

छलनी सीमाएँ यह निर्धारित करती हैं कि दिए गए श्रेणियों और प्रगतियों में कितने लगभग-अभाज्य और अभाज्य स्थित हैं, जो गुणनखंडन एल्गोरिदम में उपयोग की जाने वाली अनुमानी विधियों और क्रिप्टोग्राफिक रूप से उपयुक्त अभाज्यों की आपूर्ति के मॉडलिंग का समर्थन करती हैं।

History

छलनी सिद्धांत ब्रून द्वारा लगभग 1915 में इराटोस्थनीज छलनी के संशोधन के साथ शुरू हुआ, जिसने सिद्ध किया कि जुड़वां-अभाज्य व्युत्क्रम योग अभिसरण करता है। सेलबर्ग ने 1940 के दशक में अपनी अनुकूलित छलनी प्रस्तुत की; चेन ने 1973 में सिद्ध किया कि प्रत्येक बड़ी सम संख्या एक अभाज्य और एक लगभग-अभाज्य का योग है; और झांग के 2013 के कार्य, जिसे मेनार्ड और पॉलीमैथ परियोजना द्वारा परिष्कृत किया गया, ने अभाज्यों के बीच सीमित अंतरालों को स्थापित किया।

Key figures

• Viggo Brun
• Atle Selberg
• Chen Jingrun
• Yitang Zhang

Seminal works

• iwaniecKowalski2004

Frequently asked questions

छलनी सिद्धांत में समता समस्या क्या है?

शास्त्रीय छलनी अभाज्य गुणनखंडों की सम संख्या वाले पूर्णांकों को विषम संख्या वाले पूर्णांकों से अलग नहीं कर सकती हैं, इसलिए वे स्वयं यह सिद्ध नहीं कर सकती हैं कि छाना गया समुच्चय अभाज्यों से बना है; अतिरिक्त अंकगणितीय इनपुट की आवश्यकता होती है।

क्या छलनी विधियों ने जुड़वां अभाज्य अनुमान को सिद्ध किया?

पूरे अनुमान को नहीं। नई अवधारणाओं के साथ संयुक्त छलनी ने सिद्ध किया कि एक सीमित अंतराल के भीतर अभाज्यों के अनंत जोड़े हैं, लेकिन यह दिखाना कि वह अंतराल दो (जुड़वां अभाज्य) हो सकता है, अभी भी खुला है।