हासे आरेख क्या है?

यह एक परिमित पोसेट का एक आरेखण है जिसमें प्रत्येक तत्व एक बिंदु होता है जिसे उन तत्वों के ऊपर रखा जाता है जिन्हें वह कवर करता है, जिसमें केवल कवर करने वाले युग्मों के बीच किनारे होते हैं, ताकि क्रम को ऊपर की ओर पढ़ा जा सके।

प्रतिश्रृंखला क्या है?

एक प्रतिश्रृंखला तत्वों का एक समुच्चय है जिनमें से कोई भी दो तुलनीय नहीं होते हैं, जैसे उपसमुच्चयों का एक संग्रह जिनमें से कोई भी दूसरे को समाहित नहीं करता है।

आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय

एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय, या पोसेट (poset), एक संबंध के साथ एक समुच्चय है जो एक तत्व के दूसरे से पहले या नीचे होने के विचार को दर्शाता है, जिसमें सभी युग्मों को तुलनीय होने की आवश्यकता नहीं होती है।

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Definition

एक आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय एक द्विआधारी संबंध वाला एक समुच्चय है जो परावर्तक (reflexive), प्रतिसममित (antisymmetric) और सकर्मक (transitive) होता है; इस संबंध के तहत तत्व तुलनीय या अतुलनीय हो सकते हैं।

Scope

यह विषय आंशिक क्रम के सिद्धांतों, हासे आरेखों (Hasse diagrams), श्रृंखलाओं और प्रतिश्रृंखलाओं (antichains), अधिकतम और न्यूनतम तत्वों, क्रम-संरक्षण मानचित्रों और द्वैतता (duality), और डिल्वर्थ (Dilworth) और मिर्स्की (Mirsky) के संयोजनात्मक संरचना प्रमेयों को शामिल करता है। यह एक पोसेट के मोबियस फलन (Mobius function) का भी परिचय देता है, जो सामान्य समावेशन-बहिष्करण (inclusion-exclusion) के पीछे का क्रम-सैद्धांतिक इंजन है।

Core questions

तत्वों के बीच एक पूर्वता संबंध को कैसे स्वयंसिद्ध और आरेखित किया जाता है?
एक पोसेट के तत्वों को श्रृंखलाओं या प्रतिश्रृंखलाओं में कैसे विभाजित किया जाता है?
एक पोसेट में सबसे बड़ी प्रतिश्रृंखला या सबसे लंबी श्रृंखला क्या है?
मोबियस फलन समावेशन-बहिष्करण द्वारा गणना को कैसे सामान्यीकृत करता है?

Key concepts

आंशिक क्रम के सिद्धांत
हासे आरेख
श्रृंखलाएँ और प्रतिश्रृंखलाएँ
अधिकतम और न्यूनतम तत्व
डिल्वर्थ का प्रमेय
मोबियस फलन

Key theories

डिल्वर्थ का प्रमेय: किसी भी परिमित पोसेट में सभी तत्वों को कवर करने के लिए आवश्यक श्रृंखलाओं की न्यूनतम संख्या एक प्रतिश्रृंखला के अधिकतम आकार के बराबर होती है, जो कई संयोजनात्मक परिणामों के साथ एक मौलिक न्यूनतम-अधिकतम द्वैतता है।
एक पोसेट का मोबियस फलन: प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित पोसेट में एक मोबियस फलन होता है जो क्रम पर योग को उलट देता है; रोटा का सिद्धांत इसे समावेशन-बहिष्करण और संख्या-सैद्धांतिक व्युत्क्रमण का एकीकृत स्रोत बनाता है।

Clinical relevance

पोसेट निर्भरताओं के साथ कार्य निर्धारण, संस्करण और वंशानुक्रम पदानुक्रम, और वरीयता और समावेशन संबंधों को मॉडल करते हैं, जबकि श्रृंखला और प्रतिश्रृंखला अपघटन निर्धारण और छँटाई एल्गोरिदम में दिखाई देते हैं।

History

डिल्वर्थ का 1950 का श्रृंखला-प्रतिश्रृंखला प्रमेय और रोटा (Rota) के 1964 के मोबियस फलनों के सिद्धांत ने क्रमबद्ध समुच्चयों के संयोजनात्मक अध्ययन को आधुनिक असतत गणित का एक केंद्रीय विषय बना दिया।

Key figures

Robert Dilworth
Gian-Carlo Rota
Richard P. Stanley

Seminal works

davey2002
stanley2011

Frequently asked questions

हासे आरेख क्या है?: यह एक परिमित पोसेट का एक आरेखण है जिसमें प्रत्येक तत्व एक बिंदु होता है जिसे उन तत्वों के ऊपर रखा जाता है जिन्हें वह कवर करता है, जिसमें केवल कवर करने वाले युग्मों के बीच किनारे होते हैं, ताकि क्रम को ऊपर की ओर पढ़ा जा सके।
प्रतिश्रृंखला क्या है?: एक प्रतिश्रृंखला तत्वों का एक समुच्चय है जिनमें से कोई भी दो तुलनीय नहीं होते हैं, जैसे उपसमुच्चयों का एक संग्रह जिनमें से कोई भी दूसरे को समाहित नहीं करता है।