पी-एडिक क्षेत्र और स्थानीय क्षेत्र

पी-एडिक क्षेत्र का निर्माण पी-एडिक निरपेक्ष मान के लिए परिमेय संख्याओं को पूर्ण करके किया जाता है; इसके पी-एडिक पूर्णांकों का वलय, अवशेष क्षेत्र और यूनिफॉर्मिज़र इसे एक स्थानीय क्षेत्र का आदर्श उदाहरण बनाते हैं, जो एक ही अभाज्य संख्या पर अंकगणित का प्राकृतिक घर है।

Definition

एक परिमेय संख्या का पी-एडिक निरपेक्ष मान उसे विभाजित करने वाली p की घात द्वारा निर्धारित होता है। पी-एडिक संख्याओं का क्षेत्र इस निरपेक्ष मान के तहत परिमेय संख्याओं का पूर्णता है; एक स्थानीय क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जो एक असतत मूल्यांकन के संबंध में पूर्ण है और जिसका एक परिमित अवशेष क्षेत्र है।

Scope

यह विषय पी-एडिक मूल्यांकन और निरपेक्ष मान, अल्ट्रामेट्रिक असमानता, परिमेय संख्याओं पर निरपेक्ष मानों का ओस्ट्रोव्स्की का वर्गीकरण, पी-एडिक संख्याओं और पी-एडिक पूर्णांकों के वलय का निर्माण, अधिकतम आदर्श, अवशेष क्षेत्र और यूनिफॉर्मिज़र, पी-एडिक अंक विस्तार द्वारा तत्वों का विवरण, मूलों को उठाने के लिए हेंसेल का लेम्मा, और परिमित अवशेष क्षेत्र के साथ एक पूर्ण असतत मूल्यांकित क्षेत्र के रूप में एक स्थानीय क्षेत्र की सामान्य धारणा को शामिल करता है।

Core questions

• पी-एडिक निरपेक्ष मान को कैसे परिभाषित किया जाता है, और यह मजबूत अल्ट्रामेट्रिक असमानता को क्यों संतुष्ट करता है?
• ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय क्यों कहता है कि ये सामान्य के अलावा परिमेय संख्याओं पर अनिवार्य रूप से एकमात्र निरपेक्ष मान हैं?
• पी-एडिक पूर्णांक क्या हैं, और अंक विस्तार तथा अवशेष क्षेत्र उनकी संरचना का वर्णन कैसे करते हैं?
• हेंसेल का लेम्मा अवशेष क्षेत्र से पूर्ण स्थानीय क्षेत्र तक समाधानों को कैसे उठाता है?

Key theories

ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय और पूर्णताएँ

परिमेय संख्याओं पर प्रत्येक गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान सामान्य या पी-एडिक के समतुल्य है; प्रत्येक के तहत पूर्ण करने से वास्तविक या एक पी-एडिक क्षेत्र प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्याओं के सभी स्थानों को प्रदर्शित करता है।

पी-एडिक पूर्णांकों की संरचना

पी-एडिक पूर्णांक p द्वारा उत्पन्न अधिकतम आदर्श और p मॉड्यूलो पूर्णांकों के अवशेष क्षेत्र के साथ एक कॉम्पैक्ट स्थानीय वलय बनाते हैं; प्रत्येक पी-एडिक संख्या का एक अद्वितीय आधार-p विस्तार होता है जो दाईं ओर अनंत हो सकता है।

हेंसेल का लेम्मा

p मॉड्यूलो एक बहुपद का एक साधारण मूल पी-एडिक पूर्णांकों में एक मूल तक विशिष्ट रूप से उठता है; यह स्थानीय क्षेत्र को अवशेष क्षेत्र के बीजगणितीय रूप से सुविधाजनक विस्तार की तरह व्यवहार कराता है।

Clinical relevance

स्थानीय क्षेत्र स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत और लैंग्लैंड्स कार्यक्रम में ऑटोमॉर्फिक निरूपणों के स्थानीय घटकों के लिए एक सेटिंग हैं; हेंसेल लिफ्टिंग बहुपद गुणनखंडन और अभाज्य घातों के मॉड्यूलो में तीव्र गणना में भी एक एल्गोरिथम उपकरण है।

History

हेंसेल ने 1897 में संख्या सिद्धांत में घात-श्रृंखला तकनीकों को आयात करने के लिए पी-एडिक संख्याओं की शुरुआत की, और उनके नाम पर लिफ्टिंग लेम्मा को सिद्ध किया। ओस्ट्रोव्स्की ने 1916 में परिमेय संख्याओं पर निरपेक्ष मानों को वर्गीकृत किया, यह स्पष्ट करते हुए कि वास्तविक और पी-एडिक पूर्णताएँ संभावनाओं को समाप्त करती हैं और स्थानीय दृष्टिकोण को आधार बनाती हैं।

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

यूनिफॉर्मिज़र क्या है?

यह एक स्थानीय क्षेत्र के मूल्यांकन वलय के अधिकतम आदर्श का एक जनरेटर है; पी-एडिक संख्याओं के लिए अभाज्य p स्वयं एक यूनिफॉर्मिज़र के रूप में कार्य करता है, और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व इसकी घात का एक इकाई गुना होता है।

पी-एडिक पूर्णांक कॉम्पैक्ट क्यों होते हैं?

वे p की घातों के मॉड्यूलो पूर्णांकों के परिमित वलयों की एक व्युत्क्रम सीमा हैं, जो उन्हें पी-एडिक मीट्रिक में एक बंद और परिबद्ध सेट बनाता है और इसलिए कॉम्पैक्ट, सामान्य पूर्णांकों के विपरीत।