हल करने योग्य समूह

एक हल करने योग्य समूह वह है जिसे सामान्य उपसमूहों की एक श्रृंखला के माध्यम से एबेलियन टुकड़ों से बनाया जा सकता है, एक संरचनात्मक गुण जो यह नियंत्रित करता है कि बहुपद समीकरण रेडिकल द्वारा हल करने योग्य हैं या नहीं।

Definition

एक समूह हल करने योग्य होता है यदि इसमें एक परिमित उपसामान्य श्रृंखला होती है जिसके क्रमिक भागफल समूह सभी एबेलियन होते हैं, समतुल्य रूप से यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ उपसमूह पर समाप्त होती है।

Scope

यह विषय व्युत्पन्न श्रृंखला और कम्यूटेटर उपसमूहों, एबेलियन कारकों के साथ उपसामान्य श्रृंखला, हल करने की विभिन्न परिभाषाओं की तुल्यता, एक मजबूत स्थिति के रूप में निलपोटेंट समूह, और गैलोज़ सिद्धांत में हल करने योग्य समूहों की भूमिका को शामिल करता है।

Core questions

• एबेलियन परतों से एक समूह बनाने का क्या अर्थ है?
• व्युत्पन्न श्रृंखला और उपसामान्य श्रृंखला हल करने की क्षमता को कैसे दर्शाती हैं?
• समूहों के कौन से मानक परिवार हल करने योग्य हैं, और कौन से नहीं हैं?
• रेडिकल द्वारा समीकरणों को हल करने के लिए हल करने की क्षमता निर्णायक स्थिति क्यों है?

Key theories

व्युत्पन्न श्रृंखला लक्षण वर्णन

एक समूह ठीक तभी हल करने योग्य होता है जब उसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, जो कम्यूटेटर उपसमूह को दोहराकर प्राप्त की जाती है, परिमित चरणों में तुच्छ समूह तक पहुँचती है।

हल करने योग्य समूहों के संवरण गुण

हल करने योग्य समूहों के उपसमूह और भागफल समूह हल करने योग्य होते हैं, और एक हल करने योग्य समूह का एक हल करने योग्य समूह द्वारा विस्तार हल करने योग्य होता है, इसलिए हल करने की क्षमता मानक संरचनात्मक संक्रियाओं के तहत संरक्षित रहती है।

हल करने की क्षमता और रेडिकल

शून्य विशेषता के क्षेत्र पर एक बहुपद रेडिकल द्वारा हल करने योग्य होता है यदि और केवल यदि उसका गैलोज़ समूह एक हल करने योग्य समूह है, वह मानदंड जो यह साबित करता है कि सामान्य क्विंटिक को रेडिकल द्वारा हल नहीं किया जा सकता है।

Clinical relevance

हल करने योग्य समूह समीकरणों के सिद्धांत में सटीक बाधा हैं: गैलोज़ का मानदंड एक समूह की हल करने की क्षमता को रेडिकल द्वारा बहुपदों की हल करने की क्षमता से जोड़ता है। यह अवधारणा परिमित समूह सिद्धांत को भी व्यवस्थित करती है, जहाँ फीट-थॉम्पसन प्रमेय दर्शाता है कि विषम क्रम का प्रत्येक समूह हल करने योग्य होता है।

History

यह धारणा गैलोज़ के इस अध्ययन से उत्पन्न हुई कि कौन से समीकरण रेडिकल द्वारा हल करने योग्य हैं, जहाँ 'हल करने योग्य' मूल रूप से समीकरण को संदर्भित करता था; संबंधित समूह-सैद्धांतिक गुण ने नाम को बनाए रखा। 1963 का फीट-थॉम्पसन प्रमेय, कि विषम क्रम के सभी समूह हल करने योग्य होते हैं, परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में एक मील का पत्थर था।

Key figures

• Évariste Galois
• Walter Feit
• John G. Thompson

Seminal works

• dummit2004
• rotman1995
• isaacs2008

Frequently asked questions

हल करने योग्य और निलपोटेंट समूहों में क्या अंतर है?

निलपोटेंट समूहों में एक केंद्रीय श्रृंखला होती है और वे एक कड़ाई से छोटे वर्ग का निर्माण करते हैं; प्रत्येक निलपोटेंट समूह हल करने योग्य होता है लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। परिमित निलपोटेंट समूह ठीक अपने साइलो उपसमूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद होते हैं।

पांच अक्षरों पर सममित समूह हल करने योग्य क्यों नहीं होता है?

इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला पांच अक्षरों पर गैर-तुच्छ एकांतर समूह पर स्थिर हो जाती है, जो सरल और गैर-एबेलियन है, इसलिए श्रृंखला कभी भी तुच्छ उपसमूह तक नहीं पहुँचती है। यह गैर-हल करने की क्षमता ही कारण है कि सामान्य क्विंटिक का कोई रेडिकल सूत्र नहीं है।