Transformation linéaire
Une transformation linéaire est une application entre espaces vectoriels qui préserve l'addition et la multiplication scalaire, le morphisme d'algèbre linéaire représenté par une matrice une fois les bases choisies.
Definition
Une transformation linéaire entre espaces vectoriels sur le même corps est une fonction qui respecte l'addition vectorielle et la multiplication scalaire, de sorte que l'image d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire correspondante des images.
Scope
Ce sujet aborde les applications linéaires, leurs noyaux et leurs images, le théorème du rang, la matrice d'une application linéaire par rapport à des bases, le changement de base, la composition et l'inversibilité, ainsi que la correspondance entre les applications linéaires abstraites et les matrices.
Core questions
- Que signifie pour une application d'être linéaire ?
- Comment le noyau et l'image mesurent-ils l'injectivité et la surjectivité ?
- Comment une transformation linéaire est-elle représentée par une matrice, et comment cette matrice change-t-elle avec la base ?
- Quand une transformation linéaire est-elle inversible ?
Key theories
- Théorème du rang
- Pour une application linéaire entre espaces de dimension finie, la dimension de l'espace de départ est égale à la dimension de l'image plus la dimension du noyau, liant ainsi l'injectivité, la surjectivité et la résolubilité des systèmes linéaires.
- Représentation matricielle et changement de base
- Le choix de bases représente une application linéaire par une matrice, la composition correspond à la multiplication matricielle, et le changement de bases conjugue la matrice, de sorte que des matrices similaires représentent le même opérateur dans des coordonnées différentes.
- Isomorphisme avec les matrices
- L'espace des applications linéaires entre espaces de dimension finie est isomorphe à un espace de matrices, rendant les points de vue abstrait et concret interchangeables et réduisant l'algèbre linéaire au calcul matriciel.
Clinical relevance
Les transformations linéaires modélisent les rotations, les projections et les mises à l'échelle en géométrie et en infographie, les observables et l'évolution temporelle en mécanique quantique, ainsi que les couches d'applications linéaires au sein des réseaux de neurones. Le théorème du rang régit la résolubilité de tout système linéaire rencontré dans les applications.
History
Le calcul matriciel de Cayley et Sylvester a donné aux applications linéaires une représentation concrète au milieu du XIXe siècle, tandis que Grassmann et Peano ont fourni la vision abstraite, indépendante des coordonnées, des applications linéaires entre espaces vectoriels qui sous-tend la théorie moderne.
Key figures
- Arthur Cayley
- James Joseph Sylvester
- Hermann Grassmann
- Giuseppe Peano
Related topics
Seminal works
- hoffman1971
- roman2008
- lang2002
Frequently asked questions
- Pourquoi la même application linéaire est-elle représentée par différentes matrices ?
- Une matrice dépend du choix des bases pour l'espace de départ et l'espace d'arrivée. Le changement de bases conjugue la matrice, de sorte qu'un seul opérateur linéaire correspond à toute une classe de matrices similaires, ce qui explique l'utilité des formes canoniques.
- Que nous apprend le théorème du rang ?
- Il indique que la somme des dimensions du noyau et de l'image est égale à la dimension de l'espace de départ. Cela détermine immédiatement quand un système linéaire a des solutions et quelle est la taille de son ensemble de solutions, et quand une application est injective ou surjective.