Cohomologie

La cohomologie dualise l'homologie pour assigner des cochaînes à un espace, et porte de manière cruciale une structure d'anneau — le produit en cup — qui permet de distinguer des espaces que l'homologie seule ne peut pas.

Definition

La cohomologie assigne à un espace une suite de groupes abéliens obtenus comme cycles modulo les bords dans le complexe de cochaînes dual du complexe de chaînes singulières ; avec le produit en cup, elle forme un anneau gradué-commutatif qui est un invariant plus fin que l'homologie.

Scope

Ce sujet développe la cohomologie comme l'homologie du complexe de cochaînes dual, liée à l'homologie par le théorème des coefficients universels, et ajoute la structure multiplicative donnée par le produit en cup qui fait de la cohomologie totale un anneau gradué. Il couvre la cohomologie de de Rham sur les variétés différentiables et son identification avec la cohomologie singulière via le théorème de de Rham, les produits en cup et en cap, et la dualité de Poincaré reliant la cohomologie d'une variété fermée orientée à son homologie. Le théorème de Künneth et les applications aux classes caractéristiques sont inclus.

Core questions

• Comment la cohomologie est-elle liée à l'homologie par le théorème des coefficients universels ?
• Quelles informations supplémentaires la structure d'anneau du produit en cup encode-t-elle au-delà des groupes sous-jacents ?
• Comment la dualité de Poincaré relie-t-elle la cohomologie et l'homologie d'une variété fermée orientée ?
• Pourquoi le théorème de de Rham identifie-t-il la cohomologie des formes différentielles lisses à la cohomologie topologique ?

Key concepts

• Complexes de cochaînes et théorème des coefficients universels
• Produit en cup et anneau de cohomologie
• Produit en cap et dualité de Poincaré
• Cohomologie de de Rham et théorème de de Rham
• Théorème de Künneth pour les produits

Clinical relevance

L'anneau de cohomologie est le cadre naturel des classes caractéristiques, de la théorie de l'obstruction et des produits d'intersection, rendant la cohomologie centrale pour la géométrie différentielle, la topologie des fibrés et la théorie de jauge en physique mathématique.

History

La cohomologie a émergé dans les années 1930 des travaux de de Rham, Čech, Alexander et Kolmogorov ; le produit en cup introduit par Whitney et d'autres a révélé une structure multiplicative invisible pour l'homologie, et le théorème de de Rham a lié les théories lisses et topologiques, fixant le rôle central de la cohomologie.

Key figures

• Georges de Rham
• Eduard Čech
• Hassler Whitney

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Pourquoi utiliser la cohomologie si l'homologie détecte déjà les trous ?

La cohomologie porte une structure d'anneau via le produit en cup que l'homologie n'a pas ; des espaces avec des groupes d'homologie identiques peuvent avoir des anneaux de cohomologie différents, donc la cohomologie est un invariant strictement plus fin.

Que dit la dualité de Poincaré ?

Pour une n-variété fermée orientée, la k-ième cohomologie est isomorphe à la (n-k)-ième homologie ; géométriquement, elle associe des cycles à des cycles de dimension complémentaire par intersection.