Théorie de l'homotopie

La théorie de l'homotopie étudie les espaces à déformation continue près, généralisant le groupe fondamental aux groupes d'homotopie supérieurs et organisant les applications par le biais de fibrations, de cofibrations et d'approximations CW.

Definition

La théorie de l'homotopie étudie les espaces topologiques et les applications à homotopie près — c'est-à-dire à déformation continue près — en utilisant les groupes d'homotopie supérieurs (classes d'homotopie d'applications de sphères) et les structures de fibrations et de complexes CW qui rendent ces invariants traitables.

Scope

Ce sujet définit les groupes d'homotopie supérieurs, qui sont abéliens pour une dimension d'au moins deux, et développe les outils qui les calculent et les relient : les fibrations et la suite exacte longue d'une fibration, le théorème de Hurewicz reliant l'homotopie et l'homologie, le théorème de Whitehead sur les équivalences faibles des complexes CW, et la théorie de l'obstruction. Il examine le problème (largement ouvert) des groupes d'homotopie des sphères, les espaces d'Eilenberg-MacLane représentant la cohomologie, et le point de vue des catégories modèles qui encadre la théorie de l'homotopie de manière abstraite.

Core questions

• Comment les groupes d'homotopie supérieurs étendent-ils le groupe fondamental, et pourquoi sont-ils abéliens au-delà de la dimension un ?
• Comment la suite exacte longue d'une fibration permet-elle de calculer les groupes d'homotopie à partir de pièces plus simples ?
• Que dit le théorème de Hurewicz sur le premier groupe d'homotopie non nul et sa relation avec l'homologie ?
• Pourquoi les groupes d'homotopie des sphères sont-ils si difficiles, et quelle structure les organise ?

Key concepts

• Groupes d'homotopie supérieurs et leur structure abélienne
• Fibrations, cofibrations et la suite exacte longue d'une fibration
• Théorème de Hurewicz et théorème de Whitehead
• Espaces d'Eilenberg-MacLane et représentabilité de la cohomologie
• Approximation CW et théorie de l'obstruction

Clinical relevance

La théorie de l'homotopie constitue l'épine dorsale abstraite de la topologie moderne et fournit le langage des phénomènes stables, des espaces classifiants pour les fibrés et les théories de jauge, ainsi que les méthodes homotopiques désormais utilisées en algèbre, en géométrie algébrique et en physique mathématique.

History

Hurewicz a introduit les groupes d'homotopie supérieurs dans les années 1930 ; la suite spectrale de Serre et les travaux de Whitehead et d'autres ont rendu le calcul possible, et les catégories modèles de Quillen (1967) ont abstrait la théorie de l'homotopie dans un cadre applicable bien au-delà de la topologie.

Key figures

• Witold Hurewicz
• J. H. C. Whitehead
• Daniel Quillen

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

Pourquoi les groupes d'homotopie supérieurs sont-ils abéliens alors que le groupe fondamental ne l'est pas nécessairement ?

Pour une dimension d'au moins deux, il y a suffisamment d'espace pour faire commuter deux sphéroïdes l'un par rapport à l'autre via l'argument d'Eckmann-Hilton, forçant la commutativité ; en dimension un, les lacets ne peuvent pas être déplacés de cette manière.

Les groupes d'homotopie des sphères sont-ils connus ?

Seulement partiellement. Malgré des efforts considérables, ils ne sont calculés que dans un certain éventail de dimensions, et leur détermination générale demeure l'un des problèmes ouverts les plus profonds en topologie.