Théorème de Bloch et bandes d'énergie

Le théorème de Bloch stipule que la fonction d'onde d'un électron dans un réseau périodique est une onde plane multipliée par une fonction périodique du réseau, ce qui organise immédiatement les énergies permises en bandes.

Definition

Le théorème de Bloch affirme que les états propres d'énergie d'un électron dans un potentiel périodique ont la forme d'une onde plane modulée par une fonction ayant la périodicité du réseau ; les valeurs propres, en fonction de l'impulsion cristalline, forment des bandes d'énergie continues séparées par des lacunes interdites.

Scope

Ce sujet prouve et interprète le théorème de Bloch : le potentiel périodique contraint les états propres à être des ondes de Bloch étiquetées par une impulsion cristalline et un indice de bande, le spectre se divise en bandes d'énergie séparées par des lacunes, et les bandes peuvent être affichées selon les schémas de zone étendue, réduite ou répétée. Il couvre la signification de l'impulsion cristalline, la vitesse de groupe des électrons de Bloch et le nombre d'états par bande. C'est le fondement sur lequel s'appuient les approximations de modèle et les sujets liés à la surface de Fermi.

Core questions

• Pourquoi la périodicité du réseau contraint-elle les fonctions d'onde électroniques à prendre la forme de Bloch ?
• Qu'est-ce que l'impulsion cristalline, et en quoi diffère-t-elle de l'impulsion ordinaire ?
• Comment l'indice de bande, associé à l'impulsion cristalline, étiquette-t-il chaque état électronique ?
• Pourquoi y a-t-il exactement autant d'états dans une bande qu'il y a de cellules primitives dans le cristal ?

Key concepts

• Fonction d'onde de Bloch et partie périodique du réseau
• Impulsion cristalline et indice de bande
• Bandes d'énergie et lacunes de bande
• Schémas de zone étendue, réduite et répétée
• Vitesse de groupe d'un électron de Bloch

Key theories

Théorème de Bloch

Pour un électron unique dans un potentiel périodique, les états propres sont des produits d'une onde plane et d'une fonction périodique ; chacun est donc indexé par une impulsion cristalline dans la zone de Brillouin et un indice de bande discret, ce qui donne un spectre structuré en bandes.

Clinical relevance

Le théorème de Bloch est la pierre angulaire de la physique du solide : il explique pourquoi les électrons se déplacent de manière balistique à travers un cristal parfait, définit la structure de bande utilisée pour classer les conducteurs et les isolants, et sous-tend pratiquement tous les calculs de structure électronique.

History

Felix Bloch a prouvé le théorème dans son travail de doctorat de 1928 (publié en 1929), supervisé par Heisenberg, résolvant la question de savoir pourquoi les électrons ne sont pas fortement diffusés par le réseau dense d'ions ; le résultat généralise la théorie unidimensionnelle antérieure de Floquet sur les équations différentielles périodiques.

Key figures

• Felix Bloch
• Gaston Floquet
• Rudolf Peierls

Seminal works

• bloch1929
• ashcroft1976

Frequently asked questions

L'impulsion cristalline obéit-elle à la conservation de l'impulsion ordinaire ?

L'impulsion cristalline n'est conservée qu'à un vecteur du réseau réciproque près, car le réseau peut absorber l'impulsion en quantités quantifiées ; elle étiquette les états de Bloch et régit les règles de sélection, mais n'est pas la véritable impulsion mécanique de l'électron.

Pourquoi le théorème de Bloch implique-t-il des bandes plutôt qu'un continuum ?

Pour chaque impulsion cristalline, le problème de Schrödinger périodique possède une échelle discrète de solutions indexées par le numéro de bande ; laisser l'impulsion varier à travers la zone transforme chaque niveau en une bande continue, avec des plages d'énergie intermédiaires qu'aucun état n'occupe, les lacunes.