نظریه اشتورم-لیوویل
نظریه اشتورم-لیوویل به تحلیل دستهای از مسائل مقدار مرزی خطی مرتبه دوم میپردازد که مقادیر ویژه آنها حقیقی و گسسته بوده و توابع ویژه آنها یک پایه متعامد کامل را تشکیل میدهند.
Definition
مسئله اشتورم-لیوویل به دنبال یافتن مقادیر یک پارامتر است که برای آنها معادله (p y prime) prime plus q y equals lambda w y دارای یک حل غیربدیهی باشد که شرایط مرزی معینی را برآورده کند؛ پارامترهای مجاز، مقادیر ویژه و حلهای متناظر، توابع ویژه هستند.
Scope
این مبحث شامل فرم خودالحاقی اشتورم-لیوویل، مسائل منظم و منفرد، حقیقی بودن و ترتیب مقادیر ویژه، نوسان و درهمتنیدگی توابع ویژه، تعامد نسبت به یک تابع وزن، و بسطهای تابع ویژه است که سریهای فوریه را تعمیم داده و چندجملهایهای متعامد کلاسیک و توابع خاص را ارائه میدهند.
Core questions
- مقادیر ویژه و توابع ویژه یک مسئله مقدار مرزی معین کدامند؟
- چرا مقادیر ویژه حقیقی و توابع ویژه متعامد هستند؟
- تابع ویژه n-ام چند صفر دارد و چگونه توزیع شدهاند؟
- چه زمانی میتوان یک تابع دلخواه را بر حسب توابع ویژه بسط داد؟
Key theories
- قضیه طیفی برای مسائل منظم اشتورم-لیوویل
- یک مسئله منظم خودالحاقی اشتورم-لیوویل دارای بینهایت مقدار ویژه حقیقی است که به سمت بینهایت افزایش مییابند، با توابع ویژهای که تحت تابع وزن متعامد هستند و یک پایه کامل برای بسطها تشکیل میدهند.
- نظریههای نوسان و مقایسه اشتورم
- تابع ویژه مربوط به n-امین مقدار ویژه دقیقاً n صفر داخلی دارد، و قضیه مقایسه اشتورم صفرهای حلهای معادلات مرتبط را به هم پیوند میدهد.
- بسطهای تابع ویژه
- از آنجا که توابع ویژه یک سیستم متعامد کامل را تشکیل میدهند، توابع مناسب به صورت سریهایی از آنها بسط مییابند که سریهای فوریه را تعمیم داده و اساس جداسازی متغیرها برای معادلات دیفرانسیل جزئی را فراهم میکنند.
Clinical relevance
مسائل اشتورم-لیوویل هرگاه روش جداسازی متغیرها برای معادلات گرما، موج و شرودینگر به کار رود، پدید میآیند و توابع ویژه آنها حالتهای ارتعاشی طبیعی و حالتهای کوانتومی هستند؛ این نظریه همچنین چندجملهایهای متعامد کلاسیک را که در سراسر ریاضیات کاربردی استفاده میشوند، تولید میکند.
History
اشتورم و لیوویل این نظریه را در مجموعهای از مقالات در حدود سالهای ۱۸۳۶-۱۸۳۷ توسعه دادند و رفتار کیفی مقادیر ویژه و توابع ویژه را برای مسائل مقدار مرزی تثبیت کردند. وایل آن را در اوایل قرن بیستم به مسائل منفرد گسترش داد و آن را به نظریه طیفی عملگرها در فضای هیلبرت مرتبط ساخت.
Key figures
- Jacques Charles Francois Sturm
- Joseph Liouville
- Hermann Weyl
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- zettl2010
- courant1953
Frequently asked questions
- نظریه اشتورم-لیوویل چگونه سریهای فوریه را تعمیم میدهد؟
- سینوسها و کسینوسهای یک سری فوریه، توابع ویژه سادهترین مسئله اشتورم-لیوویل در یک بازه هستند. ضرایب و وزنهای کلیتر، خانوادههای متعامد کامل دیگری مانند توابع لژاندر، هرمیت و بسل را با بسطهای خاص خود تولید میکنند.
- چرا تضمین میشود که مقادیر ویژه حقیقی هستند؟
- هنگامی که عملگر اشتورم-لیوویل به فرم خودالحاقی با شرایط مرزی مناسب نوشته میشود، نسبت به ضرب داخلی وزندار متقارن است. عملگرهای متقارن دارای مقادیر ویژه حقیقی و توابع ویژه متعامد هستند، درست مانند ماتریسهای متقارن.