همریختی حلقه
همریختی حلقه نگاشتی ساختار-نگهدارنده بین حلقهها است، ریختشناسی نظریه حلقه که هسته آن یک ایدهآل و تصویر آن یک زیرحلقه است و توسط قضایای یکریختی اداره میشود.
Definition
همریختی حلقه تابعی بین حلقهها است که جمع، ضرب و (طبق قرارداد) همانی ضربی را حفظ میکند، به طوری که عملیات جبری رعایت میشوند.
Scope
این موضوع شامل تعریف همریختیها و یکریختیهای حلقه، هستهها و تصاویر، چهار قضیه یکریختی برای حلقهها، مشخصه و زیرحلقه اول، و ویژگیهای جهانی حلقههای خارج قسمت و نگاشتهای ارزیابی است.
Core questions
- یک نگاشت برای حفظ ساختار حلقه به چه معناست؟
- هسته و تصویر یک همریختی چگونه با ایدهآلها و زیرحلقهها مرتبط هستند؟
- قضایای یکریختی چگونه یک همریختی را از طریق یک خارج قسمت تجزیه میکنند؟
- نگاشتهای ارزیابی و کاهش چگونه به عنوان همریختیهای حلقه ظاهر میشوند؟
Key theories
- اولین قضیه یکریختی برای حلقهها
- هر همریختی حلقه به صورت یک پوشا بر روی تصویر خود و سپس یک شمول تجزیه میشود، و تصویر آن با خارج قسمت دامنه توسط هسته آن، که یک ایدهآل است، یکریخت است.
- قضایای تناظر و یکریختی
- خارج قسمت گرفتن توسط یک ایدهآل یک تناظر یک به یک بین ایدهآلهای شامل آن و ایدهآلهای خارج قسمت برقرار میکند، و قضایای یکریختی دوم، سوم و چهارم نحوه تعامل زیرحلقهها، ایدهآلها و خارج قسمتها را تحت همریختیها توصیف میکنند.
- ویژگی جهانی خارج قسمتها
- یک همریختی که هسته آن شامل یک ایدهآل معین است، به طور منحصر به فرد از طریق خارج قسمت توسط آن ایدهآل تجزیه میشود، بنابراین حلقههای خارج قسمت در میان تصاویر همریخت که ایدهآل را از بین میبرند، جهانی هستند.
Clinical relevance
همریختیهای حلقه عملیات اساسی جبر را رسمی میکنند: کاهش پیمانه یک عدد صحیح یا چندجملهای، ارزیابی چندجملهایها، و گنجاندن یک حلقه در یک حلقه بزرگتر، همگی همریختی هستند. آنها حلقهها را به یک رده تبدیل میکنند و نگاشتهایی هستند که ساختار و محاسبات در نظریه اعداد و هندسه جبری از طریق آنها منتقل میشوند.
History
قضایای همریختی و یکریختی از نظریه گروهها به حلقهها به عنوان بخشی از برنامه جبر ساختاری امی نوتر در دهه 1920 انتزاع شدند و ساختارهایی را که قبلاً به صورت موردی در نظریه اعداد و نظریه معادلات بررسی شده بودند، یکپارچه کردند.
Key figures
- Emmy Noether
- Richard Dedekind
- Emil Artin
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- hungerford1974
- lang2002
Frequently asked questions
- چرا هسته یک همریختی حلقه باید یک ایدهآل باشد؟
- هسته تحت جمع بسته است و چون نگاشت حاصلضربها را به حاصلضربها میفرستد و تصویر یک عنصر هسته صفر است، ضرب در هر عنصر حلقه را جذب میکند. این خاصیت جذب دقیقاً تعریف یک ایدهآل است.
- یک مثال از همریختی حلقه در جبر روزمره چیست؟
- کاهش اعداد صحیح پیمانه n، ارزیابی یک چندجملهای در یک عدد ثابت، و مزدوج مختلط همگی همریختیهای حلقه هستند. هر یک جمعها و حاصلضربها را حفظ میکند، و قضایای یکریختی تصاویر آنها را به عنوان حلقههای خارج قسمت توصیف میکنند.