ایدهآل
ایدهآل زیرمجموعهای خاص از یک حلقه است که تحت جمع بسته و تحت ضرب جاذب است و به عنوان هسته یک همومورفیسم و شیئی که با آن حلقههای خارجقسمتی تشکیل میشوند، عمل میکند.
Definition
ایدهآل یک حلقه R یک زیرگروه جمعی است که ضرب توسط عناصر R را جذب میکند؛ در یک حلقه جابجایی، زیرمجموعه I یک ایدهآل است اگر تحت جمع بسته باشد و ri برای هر r در R و i در I در I قرار گیرد.
Scope
این موضوع شامل ایدهآلهای چپ، راست و دوطرفه؛ ایدهآلهای اصلی، ماکسیمال و اول؛ عملیات روی ایدهآلها مانند مجموعها، حاصلضربها و اشتراکها؛ حلقههای خارجقسمتی و قضیه تناظر؛ و توصیف میدانها و دامنههای صحیح توسط ایدهآلهای ماکسیمال و اول آنها میشود.
Core questions
- ایدهآلها چگونه با هستههای همومورفیسمهای حلقه مرتبط هستند؟
- چه چیزی ایدهآلهای اول و ماکسیمال را متمایز میکند و خارجقسمتهای آنها چگونه به نظر میرسند؟
- ایدهآلهای جدید چگونه از ایدهآلهای قدیمی توسط مجموعها، حاصلضربها و اشتراکها ساخته میشوند؟
- شبکه ایدهآلها چگونه ساختار حلقه را منعکس میکند؟
Key theories
- ایدهآلها به عنوان هستهها
- یک زیرمجموعه از یک حلقه هسته یک همومورفیسم حلقه است اگر و تنها اگر یک ایدهآل باشد، و خارجقسمتگیری توسط یک ایدهآل، همومورفیسم جهانی را که آن را از بین میبرد، تولید میکند، که مشابه زیرگروههای نرمال در نظریه گروهها است.
- ایدهآلهای اول و ماکسیمال
- در یک حلقه جابجایی با عنصر همانی، یک ایدهآل دقیقاً زمانی اول است که خارجقسمت آن یک دامنه صحیح باشد و دقیقاً زمانی ماکسیمال است که خارجقسمت آن یک میدان باشد، بنابراین ایدهآلهای ماکسیمال اول هستند.
- تناظر شبکه
- ایدهآلهای یک حلقه خارجقسمتی به طور یک به یک با ایدهآلهای حلقه اصلی که شامل ایدهآل انتخاب شده هستند، مطابقت دارند و این امکان را فراهم میکند که سوالات ساختاری بین یک حلقه و خارجقسمتهای آن منتقل شوند.
Clinical relevance
ایدهآلها مفهوم سازماندهنده مرکزی نظریه حلقهها هستند: ایدهآلهای اول نقاط طیف هندسه جبری هستند، ایدهآلها سیستمهای معادلات چندجملهای را کدگذاری میکنند، و ساختارهای خارجقسمتی توسط ایدهآلها حلقههای جدیدی مانند میدانهای متناهی و حلقههای مختصاتی واریتهها را میسازند.
History
کلمه ایدهآل از اعداد ایدهآل کومر گرفته شده است که برای بازگرداندن تجزیه یکتا در نظریه اعداد جبری ابداع شدند؛ ددکیند آنها را به صورت مجموعهها، یعنی ایدهآلهای مدرن، بازفرمولبندی کرد. شرایط زنجیرهای امی نوتر بر روی ایدهآلها بعدها آنها را به ستون فقرات نظریه حلقههای انتزاعی تبدیل کرد.
Key figures
- Richard Dedekind
- Ernst Kummer
- Emmy Noether
- David Hilbert
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- atiyah1969
- hungerford1974
Frequently asked questions
- چرا میتوان یک حلقه را توسط یک ایدهآل خارجقسمت گرفت اما توسط یک زیرحلقه دلخواه نمیتوان؟
- ضرب در یک خارجقسمت تنها زمانی خوشتعریف است که زیرمجموعه، ضرب توسط تمام عناصر حلقه را جذب کند، که دقیقاً شرط ایدهآل است. یک زیرحلقه که فقط تحت عملیات حلقه بسته است، معمولاً یک حلقه خارجقسمتی خوشتعریف نمیدهد.
- ایدهآلهای اول و ماکسیمال چه تفاوتی دارند؟
- یک ایدهآل زمانی اول است که خارجقسمت آن یک دامنه صحیح باشد و زمانی ماکسیمال است که خارجقسمت آن یک میدان باشد. از آنجا که هر میدان یک دامنه صحیح است، ایدهآلهای ماکسیمال همیشه اول هستند، اما برعکس آن صادق نیست؛ این شکاف ابعاد حلقه را منعکس میکند.