توسیع میدان
توسیع میدان، میدانی است که شامل یک میدان کوچکتر به عنوان زیرمیدان است؛ این مفهوم، شیء اساسی نظریه میدان است که اندازه آن با درجهاش به عنوان یک فضای برداری اندازهگیری میشود.
Definition
توسیع میدان، زوجی متشکل از یک میدان و یک زیرمیدان است؛ به طور معادل، میدان بزرگتر به عنوان یک فضای برداری بر روی میدان کوچکتر در نظر گرفته میشود و بعد آن فضای برداری، درجه توسیع است.
Scope
این موضوع شامل درجه یک توسیع، عناصر جبری در مقابل متعالی، توسیعهای ساده و چندجملهایهای مینیمال، قانون برج برای درجات، توسیعهای متناهی مولد و جبری، و کاربرد آن در قابلیت ساخت با خطکش و پرگار کلاسیک است.
Core questions
- اندازه یک توسیع میدان چگونه اندازهگیری میشود؟
- چه زمانی یک عنصر بر روی میدان پایه جبری است و چندجملهای مینیمال آن چیست؟
- درجات چگونه در یک برج از توسیعها ضرب میشوند؟
- نظریه میدان چگونه مسائل ساخت کلاسیک را حل میکند؟
Key theories
- درجه و قانون برج
- درجه یک توسیع، بعد آن به عنوان یک فضای برداری بر روی میدان پایه است، و در یک برج از توسیعها، درجات در هم ضرب میشوند، که درجه را به یک ناوردا (invariant) اساسی افزایشی-در-نما تبدیل میکند.
- چندجملهای مینیمال یک عنصر جبری
- یک عنصر جبری بر روی یک میدان، ریشه یک چندجملهای یکانی تحویلناپذیر منحصر به فرد است که چندجملهای مینیمال نامیده میشود و درجه آن برابر با درجه توسیع سادهای است که تولید میکند.
- قابلیت ساخت
- یک طول تنها در صورتی با خطکش و پرگار قابل ساخت است که در یک برج از توسیعهای درجه دو قرار گیرد، بنابراین درجه توسیع تولید شده توسط آن باید توانی از دو باشد، که عدم امکان دو برابر کردن مکعب و تثلیث یک زاویه عمومی را حل میکند.
Clinical relevance
توسیعهای میدان چارچوبی برای مطالعه ریشههای چندجملهایها و ساخت سیستمهای عددی جدید، از جمله اعداد مختلط، میدانهای اعداد جبری و میدانهای متناهی فراهم میکنند. آنها مسائل ساخت کلاسیک یونانی را به محاسبات درجه تبدیل میکنند و زیربنای نظریه گالوا هستند.
History
کرونکر نشان داد که چگونه میتوان ریشه یک چندجملهای را با خارج قسمت گرفتن یک حلقه چندجملهای به یک میدان اضافه کرد و به این ترتیب ساختاری جبری برای توسیعها ارائه داد. خاطرات اشتاینیتس در سال ۱۹۱۰ نظریه انتزاعی میدانها و توسیعهای آنها را بنا نهاد و وانتزل پیشتر از استدلالهای درجه برای اثبات عدم امکان چندین ساخت کلاسیک استفاده کرده بود.
Key figures
- Leopold Kronecker
- Ernst Steinitz
- Évariste Galois
- Pierre Wantzel
Related topics
Seminal works
- dummit2004
- lang2002
- artin2011
Frequently asked questions
- درجه یک توسیع میدان چه چیزی را اندازهگیری میکند؟
- این بعد میدان بزرگتر به عنوان یک فضای برداری بر روی میدان کوچکتر است. به عنوان مثال، یک توسیع درجه دو با اضافه کردن یک ریشه دوم به دست میآید، و درجات زمانی که توسیعها به صورت یک برج روی هم قرار میگیرند، ضرب میشوند.
- این چگونه تثلیث زاویه را حل میکند؟
- نقاط قابل ساخت، توسیعهایی با درجهای که توانی از دو است، تولید میکنند. تثلیث یک زاویه عمومی نیازمند حل یک معادله درجه سه تحویلناپذیر است که یک توسیع درجه سه ایجاد میکند، و این توانی از دو نیست، بنابراین با خطکش و پرگار غیرممکن است.