توزیع‌های پیشین

توزیع پیشین آنچه را که در مورد پارامترها قبل از مشاهده داده‌ها شناخته شده است، کدگذاری می‌کند و تعیین آن گام متمایز مدل‌سازی تحلیل بیزی است.

Definition

توزیع پیشین یک توزیع احتمال بر روی پارامترهای ناشناخته یک مدل است که اطلاعات یا مفروضات موجود قبل از مشاهده داده‌های فعلی را نشان می‌دهد و با تابع درست‌نمایی ترکیب می‌شود تا توزیع پسین را تشکیل دهد.

Scope

این حوزه خانواده‌ها و اصولی را که برای ساخت توزیع‌های پیشین استفاده می‌شوند، پوشش می‌دهد: خانواده‌های مزدوج که برای سهولت تحلیلی انتخاب شده‌اند، توزیع‌های پیشین غیرمطلع و مرجع که برای به حداقل رساندن تأثیر طراحی شده‌اند، توزیع‌های پیشین با اطلاع‌رسانی ضعیف که برای تنظیم‌سازی استفاده می‌شوند، و استخراج و تحلیل حساسیت که انتخاب مسئولانه توزیع پیشین را هدایت می‌کنند.

Sub-topics

• پیشین مزدوج
• پیشایندهای ناآگاهانه و مرجع
• استخراج پیشین و تحلیل حساسیت
• پیشایندهای با اطلاع‌رسانی ضعیف و تنظیم‌کننده

Core questions

• چه چیزی یک توزیع پیشین را مزدوج می‌کند و چرا مزدوج بودن مفید است؟
• توزیع‌های پیشین غیرمطلع یا مرجع چگونه ساخته و توجیه می‌شوند؟
• چه زمانی توزیع‌های پیشین با اطلاع‌رسانی ضعیف بر توزیع‌های پیشین تخت ارجحیت دارند؟
• اطلاعات پیشین چگونه استخراج می‌شود و حساسیت به توزیع پیشین چگونه ارزیابی می‌شود؟

Key concepts

• توزیع پیشین
• توزیع پیشین مزدوج
• توزیع پیشین غیرمطلع
• توزیع پیشین مرجع
• توزیع پیشین جفریز
• توزیع پیشین با اطلاع‌رسانی ضعیف
• توزیع پیشین نامناسب
• حساسیت پیشین

Key theories

مزدوج بودن

یک توزیع پیشین نسبت به یک تابع درست‌نمایی مزدوج است، زمانی که توزیع پسین در همان خانواده باقی بماند و به‌روزرسانی به صورت فرم بسته انجام شود؛ توزیع‌های پیشین مزدوج به طور طبیعی برای توابع درست‌نمایی خانواده نمایی پدید می‌آیند.

توزیع پیشین ناوردا جفریز

قانون جفریز توزیع پیشین را متناسب با ریشه دوم دترمینان اطلاعات فیشر تنظیم می‌کند، که منجر به یک توزیع پیشین ناوردا تحت تغییر پارامتر و یک پیش‌فرض عینی کانونی می‌شود.

توزیع‌های پیشین با اطلاع‌رسانی ضعیف

توزیع‌های پیشین که عمداً گسترده اما مناسب هستند، تنظیم‌سازی و پایداری محاسباتی را بدون تحمیل باورهای اساسی قوی فراهم می‌کنند، رویکردی که در کارهای بیزی کاربردی مدرن مورد تأکید قرار گرفته است.

Clinical relevance

انتخاب توزیع پیشین تعیین می‌کند که چه مقدار شواهد خارجی وارد تحلیل می‌شود، که در شرایط نمونه‌های کوچک مانند آزمایش‌های فاز اولیه، ژنتیک بیماری‌های نادر، و ارزیابی ریسک، که در آن توزیع‌های پیشین به خوبی انتخاب شده تخمین‌ها را تثبیت می‌کنند، پیامدهای مهمی دارد.

History

اصل دلیل ناکافی لاپلاس اولین توزیع پیشین پیش‌فرض را ارائه داد. جفریز توزیع‌های پیشین عینی ناوردا را در دهه 1940 رسمی کرد؛ برناردو توزیع‌های پیشین مرجع را در سال 1979 معرفی کرد؛ و سنت کاربردی مدرن توزیع‌های پیشین با اطلاع‌رسانی ضعیف را هم برای تنظیم‌سازی و هم برای قابلیت اطمینان محاسباتی ترجیح داده است.

Debates

توزیع‌های پیشین تخت در مقابل توزیع‌های پیشین با اطلاع‌رسانی ضعیف

اینکه آیا توزیع‌های پیشین تخت 'غیرمطلع' واقعاً خنثی هستند، مورد بحث است، زیرا ممکن است نامناسب باشند یا باورهای قوی را در مقیاس‌های تبدیل شده نشان دهند، که انگیزه‌ای برای جایگزین‌های با اطلاع‌رسانی ضعیف است.

Key figures

• Harold Jeffreys
• Jose-Miguel Bernardo
• Edwin T. Jaynes
• Andrew Gelman

Seminal works

• gelman2013
• jeffreys1946

Frequently asked questions

آیا می‌توانم فقط از یک توزیع پیشین تخت برای عینی بودن استفاده کنم؟

یک توزیع پیشین تخت به طور خودکار خنثی نیست: ممکن است نامناسب باشد، ممکن است یک توزیع پسین مناسب ایجاد نکند، و می‌تواند پس از تغییر متغیرها بسیار آموزنده باشد، بنابراین توزیع‌های پیشین مناسب با اطلاع‌رسانی ضعیف اغلب ترجیح داده می‌شوند.

آیا با داده‌های کافی، اهمیت توزیع پیشین از بین می‌رود؟

تحت شرایط منظم، با افزایش حجم نمونه، تابع درست‌نمایی غالب می‌شود و توزیع پسین نسبت به یک توزیع پیشین معقول بی‌تفاوت می‌شود، اما با نمونه‌های کوچک یا پارامترهای زیاد، توزیع پیشین می‌تواند همچنان تأثیرگذار باقی بماند.