طبقهبندی و بازگشت زنجیره مارکوف
طبقهبندی حالتهای یک زنجیره مارکوف نشان میدهد که کدام حالتها بینهایت بار بازدید میشوند و کدامها در نهایت رها میشوند و فضای حالت را به کلاسهای ارتباطی با رفتار بلندمدت مشترک تقسیم میکند.
Definition
طبقهبندی حالت، یک زنجیره مارکوف را با گروهبندی حالتهایی که میتوانند به یکدیگر دسترسی پیدا کنند در کلاسهای ارتباطی و برچسبگذاری هر حالت به عنوان بازگشتی (recurrent) اگر زنجیره با احتمال یک به آن بازگردد یا گذرا (transient) اگر احتمال مثبتی برای هرگز بازنگشتن وجود داشته باشد، تحلیل میکند.
Scope
این موضوع شامل روابط دسترسی و ارتباط، تجزیه فضای حالت به کلاسهای ارتباطی، کاهشناپذیری، دوگانگی بازگشت-گذرا بودن و معیارهای آن، بازگشت مثبت در مقابل بازگشت پوچ، تناوب، و استفاده از احتمالات اولین گذر و برخورد برای تعیین این ویژگیها میشود.
Core questions
- چه زمانی دو حالت با هم ارتباط برقرار میکنند و چگونه این امر فضای حالت را تقسیم میکند؟
- چه چیزی یک حالت بازگشتی را از یک حالت گذرا متمایز میکند؟
- چگونه بازگشت مثبت از بازگشت پوچ جدا میشود؟
- تناوب چه نقشی در رفتار بلندمدت زنجیره ایفا میکند؟
Key theories
- دوگانگی بازگشت-گذرا بودن
- یک حالت بازگشتی است اگر و تنها اگر تعداد مورد انتظار بازگشتها بینهایت باشد، به طور معادل مجموع احتمالات بازگشت آن واگرا باشد؛ بازگشت و گذرا بودن ویژگیهای کلاسی هستند که توسط تمام حالتهایی که ارتباط برقرار میکنند، مشترک هستند.
- بازگشت مثبت در مقابل بازگشت پوچ
- یک حالت بازگشتی، بازگشتی مثبت است زمانی که زمان بازگشت مورد انتظار محدود باشد و بازگشتی پوچ است زمانی که بینهایت باشد؛ بازگشت مثبت برای وجود یک توزیع احتمال ایستا ضروری است.
Clinical relevance
تعیین بازگشت مشخص میکند که آیا یک گام تصادفی به مبدأ خود بازمیگردد، آیا یک صف بینهایت بار خالی میشود، و آیا یک فرآیند جمعیتی پایدار میماند یا جذب میشود؛ نتیجه کلاسیک پولیا مبنی بر اینکه گام تصادفی متقارن ساده در یک و دو بعد بازگشتی است اما در سه بعد یا بیشتر گذرا است، یک پیامد کانونی است.
History
مسئله بازگشت با تحلیل پولیا در سال 1921 در مورد گامهای تصادفی روی شبکههای اعداد صحیح متبلور شد، و نظریه سیستماتیک مبتنی بر کلاس بازگشت و گذرا بودن در اواسط قرن بیستم توسط چونگ، فلر و دیگران به شکلی که در کتابهای درسی مدرن یافت میشود، توسعه یافت.
Key figures
- George Polya
- Andrey Markov
- Kai Lai Chung
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- بازگشتی بودن یک حالت به چه معناست؟
- با شروع از آن حالت، زنجیره با احتمال یک به آن بازمیگردد و بنابراین بینهایت بار بازمیگردد؛ یک حالت گذرا حالتی است که زنجیره ممکن است با احتمال مثبت برای همیشه آن را ترک کند.
- چرا بعد برای بازگشت گام تصادفی اهمیت دارد؟
- گام تصادفی متقارن ساده در ابعاد یک و دو بازگشتی است اما در سه بعد و بالاتر گذرا است، زیرا احتمال بازگشت به مبدأ بستگی به سرعت فرار گام دارد که با افزایش بعد افزایش مییابد.