تقریب دیوفانتین
تقریب دیوفانتین میزان نزدیکی اعداد گنگ به کسرها را اندازهگیری میکند؛ پاسخ به ظرافت به عدد بستگی دارد و اعداد گویا، گنگ جبری و متعالی را از هم جدا میکند.
Definition
تقریب دیوفانتین مطالعه این است که اعداد حقیقی تا چه حد میتوانند به خوبی توسط اعداد گویا تقریب زده شوند، که با میزان کوچکی تفاوت بین یک عدد و یک کسر نسبت به اندازه مخرج کسر کمیسازی میشود.
Scope
این موضوع شامل قضیه تقریب دیریکله و اصل لانه کبوتری، کسرهای مسلسل به عنوان بهترین تقریبها، معیار گنگ بودن یک عدد، قضیه لیوویل و ساخت اعداد لیوویل (متعالی)، قضیه تو-سیگل-روت در مورد تقریب اعداد جبری، و کاربردها در محدود کردن راهحلهای معادلات دیوفانتین و اثباتهای متعالی بودن میشود.
Core questions
- هر عدد گنگ تا چه حد میتواند توسط اعداد گویا تقریب زده شود، همانطور که قضیه دیریکله تضمین میکند؟
- چرا همگراییهای کسر مسلسل بهترین تقریبهای گویا هستند؟
- قضیه لیوویل چگونه قابلیت تقریب اعداد جبری را محدود میکند و از این طریق اعداد متعالی را نشان میدهد؟
- قضیه تو-سیگل-روت چه محدودیت دقیقتری را اعمال میکند و چگونه راهحلهای معادلات دیوفانتین را محدود میکند؟
Key theories
- قضیه تقریب دیریکله
- برای هر عدد گنگ، بینهایت کسر وجود دارد که آن را تا یک بر روی مربع مخرج تقریب میزند، کرانی که با اصل لانه کبوتری اثبات شده و اساساً توسط کسرهای مسلسل به دست میآید.
- قضیه لیوویل و متعالی بودن
- اعداد جبری نمیتوانند سریعتر از توانی که به درجه آنها بستگی دارد، توسط اعداد گویا تقریب زده شوند؛ اعدادی که سریعتر قابل تقریب هستند، مانند ثابت لیوویل، باید متعالی باشند.
- قضیه تو-سیگل-روت
- یک عدد جبری گنگ نمیتواند با توانی اساساً بزرگتر از دو تقریب زده شود؛ این کران بهینه، متناهی بودن راهحلها را برای دستههای وسیعی از معادلات دیوفانتین نشان میدهد.
Clinical relevance
کیفیت تقریب، پایداری الگوریتمهای عددی شامل نسبتهای گنگ را کنترل میکند و زیربنای کاهش شبکه (اساس حملات و ساختارها در رمزنگاری شبکه) و طراحی دنبالههای با اختلاف کم مورد استفاده در انتگرالگیری شبه مونت کارلو است.
History
تقریبهای کسر مسلسل توسط اویلر و لاگرانژ مورد مطالعه قرار گرفتند. لیوویل اولین اعداد متعالی صریح را در سال ۱۸۴۴ با استفاده از کران تقریب خود ساخت؛ تو، سیگل، و در نهایت روت در سال ۱۹۵۵ این کران را برای اعداد جبری دقیقتر کردند، نتیجهای که روت به خاطر آن مدال فیلدز را دریافت کرد.
Key figures
- Peter Gustav Lejeune Dirichlet
- Joseph Liouville
- Axel Thue
- Klaus Roth
Related topics
Frequently asked questions
- معیار گنگ بودن چیست؟
- این معیار کمیسازی میکند که یک عدد تا چه حد میتواند به خوبی توسط اعداد گویا تقریب زده شود: معیار بزرگتر به معنای امکان تقریبهای بهتر است. اعداد گویا معیار یک، اعداد گنگ جبری دقیقاً دو (طبق قضیه روت)، و اعداد لیوویل معیار بینهایت دارند.
- چگونه تقریب ثابت میکند که یک عدد متعالی است؟
- اگر یک عدد بتواند سریعتر از کران لیوویل که برای هر عدد جبری مجاز است، توسط اعداد گویا تقریب زده شود، نمیتواند جبری باشد، بنابراین باید متعالی باشد.