اعداد پی-ادیک

اعداد پی-ادیک یک تکمیل جایگزین برای اعداد گویا هستند که برای هر عدد اول p، نزدیکی با تقسیم‌پذیری به جای اندازه اندازه‌گیری می‌شود؛ آنها نظریه اعداد را محلی می‌کنند و حسابی را آشکار می‌سازند که اعداد حقیقی پنهان می‌کنند.

Definition

برای یک عدد اول p، اعداد پی-ادیک تکمیل اعداد گویا نسبت به قدر مطلق پی-ادیک هستند، که در آن یک عدد زمانی کوچک است که بر توان بالایی از p بخش‌پذیر باشد؛ آنها میدانی را تشکیل می‌دهند که یک میدان موضعی نمونه‌ای است.

Scope

این حوزه شامل قدر مطلق پی-ادیک و ساخت اعداد پی-ادیک به عنوان تکمیل اعداد گویا، ساختار میدان‌های پی-ادیک و میدان‌های موضعی کلی‌تر، آنالیز پی-ادیک شامل همگرایی، توابع نمایی و لگاریتمی پی-ادیک، لم هنزل، و اصل موضعی-سراسری است که با آن حل یک معادله بر روی اعداد گویا از طریق تمام تکمیل‌های حقیقی و پی-ادیک آن مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

Sub-topics

• اصل محلی-سراسری
• آنالیز پی-ادیک
• میدان‌های پی-ادیک و میدان‌های موضعی

Core questions

• چگونه قدر مطلق پی-ادیک مفهوم فاصله را بازتعریف می‌کند، و چگونه تکمیل اعداد گویا میدان پی-ادیک را تولید می‌کند؟
• ساختار جبری و توپولوژیکی میدان‌های پی-ادیک و میدان‌های موضعی عمومی چیست؟
• آنالیز پی-ادیکی چگونه کار می‌کند، و لم هنزل به ما اجازه حل چه مسائلی را می‌دهد؟
• اصل موضعی-سراسری چگونه حل‌پذیری گویا را به حل‌پذیری بر روی اعداد حقیقی و تمام میدان‌های پی-ادیک مرتبط می‌کند؟

Key theories

تکمیل پی-ادیک و قضیه اوستروفسکی

قضیه اوستروفسکی تمام قدر مطلق‌ها را بر روی اعداد گویا به عنوان قدر مطلق معمول و قدر مطلق‌های پی-ادیک طبقه‌بندی می‌کند؛ تکمیل نسبت به هر یک، اعداد حقیقی و میدان‌های پی-ادیک را تولید می‌کند که میدان‌های موضعی با مشخصه صفر هستند.

لم هنزل

یک چندجمله‌ای با یک ریشه ساده به پیمانه p، یک ریشه پی-ادیک منحصر به فرد دارد که به آن کاهش می‌یابد، بنابراین حل معادلات به صورت پی-ادیکی به حل آنها به پیمانه p و بالا بردن آن، یک روش نیوتن پی-ادیکی، کاهش می‌یابد.

اصل موضعی-سراسری (هاسه)

برای بسیاری از معادلات، به ویژه فرم‌های درجه دوم، حل‌پذیری بر روی اعداد گویا معادل با حل‌پذیری بر روی اعداد حقیقی و بر روی هر میدان پی-ادیک است، که مسائل سراسری را به مسائل موضعی متمرکز می‌کند.

Clinical relevance

میدان‌های موضعی و روش‌های پی-ادیک در هندسه حسابی مدرن و برنامه لنگلندز ضروری هستند؛ توابع L پی-ادیک و نمایش‌های گالوا نیز فرضیه‌هایی (مانند بیرچ-سوینرتون-دایر) را اطلاع‌رسانی می‌کنند که مطالعه محاسباتی آنها از رمزنگاری منحنی بیضوی پشتیبانی می‌کند.

History

هنزل اعداد پی-ادیک را در حدود سال ۱۸۹۷ با قیاس با سری‌های توانی در میدان‌های تابع معرفی کرد. هاسه اصل موضعی-سراسری را در دهه ۱۹۲۰ توسعه داد، و دیدگاه پی-ادیک از طریق کار تیت، ایواساوا و دیگران بر روی میدان‌های موضعی، توابع L پی-ادیک و هندسه حسابی محوری شد.

Key figures

• Kurt Hensel
• Helmut Hasse
• Jean-Pierre Serre

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

به چه معنا دو عدد از نظر پی-ادیکی به هم نزدیک هستند؟

دو عدد صحیح از نظر پی-ادیکی به هم نزدیک هستند وقتی تفاضل آنها بر توان بالایی از عدد اول p بخش‌پذیر باشد؛ بنابراین، برای مثال، توان‌های بالای p از نظر پی-ادیکی به صفر نزدیک هستند، که برخلاف شهود معمول است.

چرا اصلاً اعداد پی-ادیک را معرفی کنیم؟

آنها حساب را در یک عدد اول خاص محلی می‌کنند و بسیاری از مسائل را قابل حل می‌سازند: معادلات را می‌توان یک عدد اول در هر زمان مطالعه کرد، و اصل موضعی-سراسری این راه‌حل‌های موضعی را به نتایج سراسری تبدیل می‌کند.