معادلات خطی و پِل

معادلات دیوفانتین خطی به طور کامل با الگوریتم اقلیدسی حل می‌شوند، در حالی که معادله پِل، که به دنبال یافتن پاسخ‌های صحیح برای x به توان دو منهای d y به توان دو مساوی یک است، ساختار عمیق میدان‌های درجه دوم حقیقی را از طریق کسرهای مسلسل آشکار می‌کند.

Definition

یک معادله دیوفانتین خطی به دنبال پاسخ‌های صحیح برای یک معادله خطی با ضرایب صحیح است؛ معادله پِل، معادله دیوفانتین درجه دوم x به توان دو منهای d y به توان دو مساوی یک برای یک عدد صحیح مثبت غیرمربع d است که پاسخ‌های آن یک خانواده بی‌نهایت و متناهی تولید شده را تشکیل می‌دهند.

Scope

این مبحث شامل معادلات دیوفانتین خطی با دو یا چند متغیر و حل کامل آن‌ها از طریق بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک و اتحاد بِزو، معادله پِل و اشکال منفی و تعمیم‌یافته آن، بسط کسر مسلسل اعداد گنگ درجه دوم، پاسخ بنیادی و چگونگی تولید تمام پاسخ‌ها از آن، و ارتباط با یکاها و یکای بنیادی یک میدان درجه دوم حقیقی است.

Core questions

• چه زمانی یک معادله دیوفانتین خطی پاسخ‌های صحیح دارد و مجموعه پاسخ کامل چگونه توصیف می‌شود؟
• چرا معادله پِل همیشه برای d غیرمربع پاسخ‌های غیربدیهی دارد؟
• چگونه بسط کسر مسلسل ریشه دوم d پاسخ بنیادی را تولید می‌کند؟
• چگونه تمام پاسخ‌های پِل از پاسخ بنیادی تولید می‌شوند و این چه ارتباطی با یکاهای یک میدان درجه دوم دارد؟

Key theories

حل‌پذیری معادلات دیوفانتین خطی

معادله a x به علاوه b y مساوی c دقیقاً زمانی پاسخ‌های صحیح دارد که بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک a و b، c را تقسیم کند، و سپس اتحاد بِزو یک پاسخ خاص و خانواده کامل تک‌پارامتری را ارائه می‌دهد.

وجود و ساختار پاسخ‌های پِل

برای d غیرمربع، معادله پِل بی‌نهایت پاسخ دارد؛ یک پاسخ بنیادی وجود دارد، و تمام پاسخ‌های دیگر با گرفتن توان‌های یکای متناظر در میدان درجه دوم حقیقی به دست می‌آیند.

کسرهای مسلسل و اعداد گنگ درجه دوم

بسط کسر مسلسل ریشه دوم d در نهایت تناوبی است، و همگرایی‌های آن پاسخ بنیادی پِل را فراهم می‌کنند، که حل‌پذیری دیوفانتین را به تقریب دیوفانتین مرتبط می‌سازد.

Clinical relevance

معادلات از نوع پِل و کسرهای مسلسل در الگوریتم‌های محاسبه یکاهای بنیادی و تنظیم‌کننده‌های میدان‌های درجه دوم و در تقریب نسبت‌های گنگ ظاهر می‌شوند، با کاربرد عملی در طراحی تقویم، نسبت‌های دنده، و کاهش شبکه.

History

ریاضی‌دانان هندی، به ویژه براهماگوپتا در قرن هفتم و بهاسکارا دوم با روش چاکراوالا، قرن‌ها قبل از اروپا معادله پِل را حل کردند. فرما آن را به عنوان یک چالش مطرح کرد، و لاگرانژ اولین اثبات کامل اروپایی را در سال ۱۷۶۸ ارائه داد؛ نام پِل یک انتساب تاریخی اشتباه توسط اویلر است.

Key figures

• Brahmagupta
• Joseph-Louis Lagrange
• Pierre de Fermat
• John Pell

Seminal works

• hardyWright2008

Frequently asked questions

چرا به آن معادله پِل می‌گویند؟

به دلیل یک خطای تاریخی: اویلر این معادله را به جان پِل نسبت داد، اگرچه پِل کار چندانی روی آن انجام نداد؛ پیشرفت‌های اولیه قابل توجه توسط ریاضی‌دانان هندی و توسط فرما و لاگرانژ صورت گرفت.

چگونه یک پاسخ پِل را پیدا می‌کنید؟

ریشه دوم d را به صورت یک کسر مسلسل بسط دهید؛ همگرایی‌های تناوبی آن پاسخ بنیادی را به دست می‌دهند، که از آن هر پاسخ دیگر با ترکیب مکرر تولید می‌شود.