ردهها، تابعگونها، و تبدیلهای طبیعی
ردهها، تابعگونها، و تبدیلهای طبیعی سه مفهوم اساسی نظریه ردهها هستند که ساختارها، نگاشتهای بین ساختارها، و نگاشتهای بین چنین نگاشتهایی را صورتبندی میکنند.
Definition
یک رده شامل اشیاء و ریختهایی است که به صورت شرکتپذیر با همانیها ترکیب میشوند؛ یک تابعگون اشیاء و ریختهای یک رده را به ردهای دیگر نگاشت میکند و ترکیب و همانیها را حفظ میکند؛ یک تبدیل طبیعی به هر شیء یک ریخت اختصاص میدهد به طوری که با عملکردهای دو تابعگون جابجا میشود.
Scope
این موضوع شامل تعریف یک رده با اشیاء، ریختها، ترکیب، و همانیها، مفهوم یک تابعگون به عنوان نگاشت حافظ ساختار بین ردهها، تبدیلهای طبیعی به عنوان ریختهای تابعگونها، و مفاهیم حاصل از همریختی، همارزی ردهها، و تعبیه یوندا میشود.
Core questions
- چه دادهها و اصول موضوعهای یک رده را تعریف میکنند؟
- یک تابعگون چگونه ساختار را از یک رده به ردهای دیگر منتقل میکند؟
- طبیعی بودن به چه معناست و چرا مفهوم درستی برای نگاشت بین تابعگونها است؟
- چه زمانی دو رده همارز هستند و نه برابر؟
Key theories
- اصول موضوعه رده و تابعگون
- ترکیب ریختها شرکتپذیر و دارای عنصر همانی است، و تابعگونها این ساختار ترکیبی را حفظ میکنند، بنابراین ساختارهای ردهای تحت نگاشتهایی که ردهها را به هم مرتبط میکنند، پایدار هستند.
- تبدیلهای طبیعی
- یک تبدیل طبیعی دو تابعگون را با خانوادهای از ریختها که با تمام نگاشتهای رده مبدأ سازگار هستند، به هم مرتبط میکند و ایده غیررسمی یک ساختار تعریف شده به صورت یکنواخت و بدون انتخابهای دلخواه را به تصویر میکشد.
- لم و تعبیه یوندا
- تبدیلهای طبیعی از یک تابعگون نمایشیافته متناظر با عناصر هستند، بنابراین هر شیء توسط ریختهای خود تعیین میشود و به طور کامل و وفادارانه در یک رده تابعگون تعبیه میشود.
Clinical relevance
این سه مفهوم واژگانی هستند که ریاضیات ردهای با آن نوشته میشود: تابعگونها ساختارهایی مانند تشکیل یک گروه بنیادی یا یک حلقه چندجملهای را صورتبندی میکنند، طبیعی بودن ساختارهای کانونی را شناسایی میکند، و دیدگاه یوندا دیدگاه ساختاری را که در جبر، توپولوژی، و معناشناسی زبانهای برنامهنویسی نفوذ کرده است، پایه میریزد.
History
آیلنبرگ و مکلین ردهها، تابعگونها، و تبدیلهای طبیعی را در سال ۱۹۴۵ معرفی کردند، با تبدیلهای طبیعی به عنوان مفهوم انگیزهبخش که برای تعریف دقیق آن به مفاهیم دیگر نیاز بود. لم یوندا، که به نوبو یوندا نسبت داده میشود، به زودی به سنگ بنایی تبدیل شد که دیدگاه نمایشپذیری این موضوع را بیان میکرد.
Key figures
- Samuel Eilenberg
- Saunders Mac Lane
- Nobuo Yoneda
Related topics
Seminal works
- maclane1998
- awodey2010
- riehl2016
Frequently asked questions
- هدف از تبدیلهای طبیعی چیست؟
- آنها دقیقاً مشخص میکنند که چه زمانی یک ساختار کانونی است، یعنی برای هر شیء بدون انتخابهای دلخواه به یک روش تعریف میشود. مثال کلاسیک نگاشت طبیعی از یک فضای برداری به دوگان دوگانه آن است که به طور یکنواخت وجود دارد، برخلاف نگاشت به دوگان منفرد که به انتخاب پایه بستگی دارد.
- همارزی ردهها چیست؟
- آن یک جفت تابعگون بین دو رده است که ترکیبهای آنها به طور طبیعی با همانیها همریخت هستند. ردههای همارز تمام ویژگیهای ردهای را به اشتراک میگذارند حتی زمانی که به معنای واقعی کلمه یکسان نیستند، که مفهوم مناسبی از یکسانی در نظریه ردهها است.