Transformación Lineal

Una transformación lineal es un mapeo entre espacios vectoriales que preserva la adición y la multiplicación escalar, el morfismo del álgebra lineal representado por una matriz una vez que se eligen las bases.

Definition

Una transformación lineal entre espacios vectoriales sobre el mismo campo es una función que respeta la adición vectorial y la multiplicación escalar, de modo que la imagen de una combinación lineal es la combinación lineal correspondiente de las imágenes.

Scope

Este tema cubre los mapeos lineales y sus núcleos e imágenes, el teorema de rango-nulidad, la matriz de un mapeo lineal con respecto a las bases, el cambio de base, la composición y la invertibilidad, y la correspondencia entre los mapeos lineales abstractos y las matrices.

Core questions

• ¿Qué significa que un mapeo sea lineal?
• ¿Cómo miden el núcleo y la imagen la inyectividad y la sobreyectividad?
• ¿Cómo se representa una transformación lineal mediante una matriz y cómo cambia esa matriz con la base?
• ¿Cuándo es invertible una transformación lineal?

Key theories

Teorema de rango-nulidad

Para un mapeo lineal entre espacios de dimensión finita, la dimensión del dominio es igual a la dimensión de la imagen más la dimensión del núcleo, lo que vincula la inyectividad, la sobreyectividad y la solubilidad de los sistemas lineales.

Representación matricial y cambio de base

La elección de bases representa un mapeo lineal mediante una matriz, la composición corresponde a la multiplicación de matrices, y el cambio de bases conjuga la matriz, de modo que matrices similares representan el mismo operador en diferentes coordenadas.

Isomorfismo con matrices

El espacio de mapeos lineales entre espacios de dimensión finita es isomorfo a un espacio de matrices, lo que hace que los puntos de vista abstractos y concretos sean intercambiables y reduce el álgebra lineal al cálculo matricial.

Clinical relevance

Las transformaciones lineales modelan rotaciones, proyecciones y escalamientos en geometría y gráficos, observables y evolución temporal en mecánica cuántica, y las capas de mapeos lineales dentro de las redes neuronales. El teorema de rango-nulidad rige la solubilidad de cada sistema lineal encontrado en las aplicaciones.

History

El cálculo matricial de Cayley y Sylvester proporcionó a los mapeos lineales una representación concreta a mediados del siglo XIX, mientras que Grassmann y Peano ofrecieron la visión abstracta y libre de coordenadas de los mapeos lineales entre espacios vectoriales que subyace a la teoría moderna.

Key figures

• Arthur Cayley
• James Joseph Sylvester
• Hermann Grassmann
• Giuseppe Peano

Seminal works

• hoffman1971
• roman2008
• lang2002

Frequently asked questions

¿Por qué el mismo mapeo lineal se representa con diferentes matrices?

Una matriz depende de la elección de bases para el dominio y el codominio. El cambio de bases conjuga la matriz, por lo que un solo operador lineal corresponde a toda una clase de similitud de matrices, razón por la cual las formas canónicas son útiles.

¿Qué nos dice el teorema de rango-nulidad?

Establece que las dimensiones del núcleo y la imagen suman la dimensión del dominio. Esto decide inmediatamente cuándo un sistema lineal tiene soluciones y cuán grande es su conjunto de soluciones, y cuándo un mapeo es inyectivo o sobreyectivo.