Representación de Grupo

Una representación de grupo realiza los elementos de un grupo como transformaciones lineales invertibles de un espacio vectorial, traduciendo la teoría de grupos al álgebra lineal y exponiendo la estructura a través de caracteres.

Definition

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V es un homomorfismo de G al grupo de operadores lineales invertibles en V, equivalentemente un módulo sobre el álgebra de grupo de G.

Scope

Este tema abarca las representaciones y su equivalencia, las representaciones irreducibles, el teorema de Maschke sobre la reducibilidad completa, el lema de Schur, los caracteres y las relaciones de ortogonalidad, y la descomposición de representaciones sobre cuerpos de característica cero. Es la puerta de entrada a la teoría de representaciones de grupos finitos.

Core questions

• ¿Cómo se puede modelar un grupo mediante matrices que actúan sobre un espacio vectorial?
• ¿Cuándo se descompone una representación en piezas irreducibles?
• ¿Qué información sobre una representación es capturada por su carácter?
• ¿Cómo clasifican las relaciones de ortogonalidad las representaciones irreducibles de un grupo finito?

Key theories

Teorema de Maschke

Sobre un cuerpo cuya característica no divide el orden del grupo, toda representación de un grupo finito es completamente reducible, descomponiéndose como una suma directa de representaciones irreducibles.

Lema de Schur

Cualquier homomorfismo entre representaciones irreducibles es cero o un isomorfismo, y sobre un cuerpo algebraicamente cerrado los endomorfismos de una representación irreducible son escalares, la piedra angular de la teoría de caracteres.

Relaciones de ortogonalidad de caracteres

Los caracteres de las representaciones complejas irreducibles de un grupo finito forman una base ortonormal para el espacio de las funciones de clase, por lo que el número de irreducibles es igual al número de clases de conjugación y cada representación está determinada por su carácter.

Clinical relevance

La teoría de representaciones hace que los grupos finitos sean computables a través del álgebra lineal y es indispensable en la mecánica cuántica y la espectroscopia (bases adaptadas a la simetría y reglas de selección), en cristalografía y en el análisis de la simetría en física, así como en la teoría de números a través de las representaciones asociadas a los grupos de Galois.

History

Frobenius introdujo los caracteres y las representaciones de grupos finitos en la década de 1890, y Schur, Burnside y Weyl desarrollaron la teoría hasta convertirla en una poderosa herramienta estructural. El teorema de Maschke y las relaciones de ortogonalidad dieron a la materia la forma que se enseña hoy en día y la conectaron con la física de la simetría.

Key figures

• Georg Frobenius
• Issai Schur
• William Burnside
• Hermann Weyl

Seminal works

• serre1977
• dummit2004
• lang2002

Frequently asked questions

¿Por qué representar un grupo con matrices?

El álgebra lineal es mucho más computable que la teoría de grupos abstracta, y los caracteres reducen una representación a una única función de clase. La teoría de caracteres de Frobenius permitió a los matemáticos probar resultados profundos, como el teorema de Burnside sobre grupos de orden divisible por solo dos primos, que de otro modo eran inaccesibles.

¿Qué significa que una representación sea irreducible?

Una representación irreducible no tiene un subespacio propio no nulo preservado por cada elemento del grupo; es un bloque de construcción. El teorema de Maschke establece que, en buena característica, toda representación es una suma directa de estos bloques.