Muestreo por Transformada Inversa

El muestreo por transformada inversa genera una extracción de una distribución objetivo evaluando la inversa de su función de distribución acumulativa en un número aleatorio uniforme, convirtiendo una variable uniforme en una muestra exacta.

Definition

El muestreo por transformada inversa es la técnica de extraer U uniformemente en (0,1) y devolver el valor en el que la función de distribución acumulativa del objetivo es igual a U, produciendo así una muestra exacta de esa distribución.

Scope

Este tema cubre la transformada integral de probabilidad que justifica el método, su aplicación a distribuciones continuas y discretas, el uso de la inversión numérica cuando la función de distribución acumulativa inversa carece de una forma cerrada, y las fortalezas y limitaciones del método en relación con la aceptación-rechazo y los algoritmos especializados.

Core questions

• ¿Por qué la aplicación de la función de distribución acumulativa inversa a una variable uniforme produce la distribución objetivo?
• ¿Cómo se adapta el método a las distribuciones discretas a través de la inversa generalizada?
• ¿Qué técnicas numéricas invierten una función de distribución acumulativa que no tiene una forma cerrada?
• ¿Cuándo es preferible la inversión a la aceptación-rechazo o a los algoritmos específicos de distribución?

Key concepts

• Función de distribución acumulativa
• Función cuantil
• Transformada integral de probabilidad
• Inversión numérica
• Monotonicidad

Key theories

Transformada integral de probabilidad

Si X tiene una función de distribución acumulativa continua F, entonces F(X) es uniforme en (0,1); por el contrario, la inversa de F aplicada a una variable uniforme tiene distribución F, que es la base exacta de la inversión.

Inversa generalizada para distribuciones discretas y mixtas

Cuando F no es estrictamente creciente, la función cuantil definida como el ínfimo de los valores cuya probabilidad acumulada alcanza U extiende la inversión a distribuciones discretas y mixtas, reduciendo el muestreo a una búsqueda a través de las probabilidades acumuladas.

Clinical relevance

La inversión es la herramienta principal para generar variables exponenciales, de Cauchy, logísticas y muchas otras, para simular a partir de distribuciones empíricas y ajustadas, y para acoplar simulaciones a números aleatorios comunes; debido a que una única entrada uniforme se asigna a una única salida, también permite esquemas de reducción de varianza basados en la aleatoriedad compartida.

History

La transformada integral de probabilidad se estableció a principios del siglo XX en la estadística matemática y se convirtió en una herramienta de simulación estándar una vez que las computadoras digitales hicieron rutinaria la evaluación de las funciones cuantil, con un énfasis posterior en la inversión numérica precisa para distribuciones que carecen de cuantiles de forma cerrada.

Key figures

• Luc Devroye
• Christian P. Robert
• George Casella

Seminal works

• devroye1986
• robert2004

Frequently asked questions

¿Cuándo no se puede utilizar directamente el muestreo por transformada inversa?

Requiere evaluar la función de distribución acumulativa inversa. Para distribuciones como la normal, cuya inversa no tiene una forma cerrada elemental, se utilizan aproximaciones numéricas precisas o se cambia a otro método como la aceptación-rechazo.

¿Funciona la inversión para distribuciones discretas?

Sí. Usando la inversa generalizada, se devuelve el valor más pequeño cuya probabilidad acumulada es al menos el sorteo uniforme, lo que equivale a buscar en la tabla de probabilidades acumuladas el objetivo.