Teoría de Hamilton-Jacobi
La teoría de Hamilton-Jacobi busca una transformación canónica a variables en las que el movimiento es trivial, reduciendo la mecánica a la resolución de una única ecuación diferencial parcial de primer orden para la acción.
Definition
La teoría de Hamilton-Jacobi es la formulación de la mecánica en la que se resuelve una ecuación diferencial parcial de primer orden, la ecuación de Hamilton-Jacobi, para una función generatriz que se transforma en coordenadas donde todos los momentos son constantes y el movimiento es inmediato.
Scope
Este tema abarca la ecuación de Hamilton-Jacobi para las funciones principal y característica de Hamilton, el método de separación de variables para resolverla, la construcción de variables de acción-ángulo para sistemas periódicos y multiplemente periódicos, y el papel de la teoría como el límite clásico y el ancestro conceptual de la mecánica ondulatoria.
Core questions
- ¿Qué es la ecuación de Hamilton-Jacobi y qué función determina?
- ¿Cómo la separación de variables hace que la ecuación sea resoluble para sistemas integrables?
- ¿Qué son las variables de acción-ángulo y por qué son valiosas?
Key concepts
- Función principal de Hamilton
- Función característica de Hamilton
- Separación de variables
- Variables de acción-ángulo
- Integral completa
Key theories
- Ecuación de Hamilton-Jacobi
- Una ecuación diferencial parcial no lineal de primer orden para la función principal de Hamilton cuya solución completa genera una transformación canónica que reduce el sistema a nuevas coordenadas y momentos constantes.
- Variables de acción-ángulo
- Para sistemas periódicos, la teoría produce variables de acción que son constantes de movimiento y variables de ángulo conjugadas que avanzan uniformemente en el tiempo, ideales para la teoría de perturbaciones y la cuantificación.
Clinical relevance
La teoría de Hamilton-Jacobi proporcionó el marco para la cuantificación de Bohr-Sommerfeld de la antigua teoría cuántica, anticipa el límite eikonal y de óptica geométrica de las ecuaciones de onda, y subyace a la teoría de control óptimo a través de la ecuación relacionada de Hamilton-Jacobi-Bellman utilizada en ingeniería y economía.
History
Hamilton desarrolló la función principal en óptica y mecánica a principios de la década de 1830, y Jacobi reformuló y completó la teoría, dando a la ecuación su forma moderna y mostrando su poder para integrar problemas dinámicos. A principios del siglo XX, la formulación de acción-ángulo se convirtió en la base de las reglas de cuantificación de Sommerfeld, vinculando la mecánica clásica con la emergente teoría cuántica.
Key figures
- William Rowan Hamilton
- Carl Gustav Jacob Jacobi
- Arnold Sommerfeld
Related topics
Seminal works
- goldstein2002
- landau1976
Frequently asked questions
- ¿Por qué resolver una ecuación diferencial parcial en lugar de las ecuaciones ordinarias de movimiento?
- Una solución completa de la única ecuación de Hamilton-Jacobi produce una transformación canónica que hace explícito todo el movimiento a la vez, lo que para sistemas separables e integrables es más potente que integrar directamente las ecuaciones ordinarias acopladas.
- ¿Cómo se conecta la teoría con la mecánica cuántica?
- La ecuación de Hamilton-Jacobi es el límite de longitud de onda corta de la ecuación de Schrödinger, y la función principal de Hamilton desempeña el papel de la fase de la función de onda cuántica, lo que convierte a la teoría en el esqueleto clásico de la mecánica ondulatoria.