Cohomología
La cohomología dualiza la homología para asignar cocadenas a un espacio y, de manera crucial, posee una estructura de anillo —el producto cup— que distingue espacios que la homología por sí sola no puede.
Definition
La cohomología asigna a un espacio una secuencia de grupos abelianos obtenidos como ciclos módulo fronteras en el complejo de cocadenas dual al complejo de cadenas singulares; con el producto cup forma un anillo graduado-conmutativo que es un invariante más fino que la homología.
Scope
Este tema desarrolla la cohomología como la homología del complejo de cocadenas dual, relacionada con la homología por el teorema de los coeficientes universales, y añade la estructura multiplicativa dada por el producto cup que convierte la cohomología total en un anillo graduado. Cubre la cohomología de de Rham en variedades suaves y su identificación con la cohomología singular a través del teorema de de Rham, los productos cup y cap, y la dualidad de Poincaré que relaciona la cohomología de una variedad cerrada orientada con su homología. Se incluyen el teorema de Künneth y las aplicaciones de clases características.
Core questions
- ¿Cómo se relaciona la cohomología con la homología a través del teorema de los coeficientes universales?
- ¿Qué información adicional codifica la estructura de anillo del producto cup más allá de los grupos subyacentes?
- ¿Cómo vincula la dualidad de Poincaré la cohomología y la homología de una variedad cerrada orientada?
- ¿Por qué el teorema de de Rham identifica la cohomología de formas diferenciales suaves con la cohomología topológica?
Key concepts
- Complejos de cocadenas y el teorema de los coeficientes universales
- Producto cup y el anillo de cohomología
- Producto cap y dualidad de Poincaré
- Cohomología de de Rham y el teorema de de Rham
- Teorema de Künneth para productos
Clinical relevance
El anillo de cohomología es el hogar natural de las clases características, la teoría de la obstrucción y los productos de intersección, lo que hace que la cohomología sea central en la geometría diferencial, la topología de los fibrados y la teoría de gauge en la física matemática.
History
La cohomología surgió en la década de 1930 del trabajo de de Rham, Čech, Alexander y Kolmogorov; el producto cup introducido por Whitney y otros reveló una estructura multiplicativa invisible para la homología, y el teorema de de Rham unió las teorías suave y topológica, fijando el papel central de la cohomología.
Key figures
- Georges de Rham
- Eduard Čech
- Hassler Whitney
Related topics
Seminal works
- hatcher2002
- bredon1993
Frequently asked questions
- ¿Por qué usar la cohomología si la homología ya detecta agujeros?
- La cohomología posee una estructura de anillo a través del producto cup de la que carece la homología; los espacios con grupos de homología idénticos pueden tener anillos de cohomología diferentes, por lo que la cohomología es un invariante estrictamente más fino.
- ¿Qué establece la dualidad de Poincaré?
- Para una n-variedad cerrada orientada, la k-ésima cohomología es isomorfa a la (n-k)-ésima homología; geométricamente, empareja ciclos con ciclos de dimensión complementaria a través de la intersección.