Teoría de la Homotopía

La teoría de la homotopía estudia los espacios hasta la deformación continua, generalizando el grupo fundamental a grupos de homotopía superiores y organizando los mapas a través de fibraciones, cofibraciones y aproximación CW.

Definition

La teoría de la homotopía estudia los espacios topológicos y los mapas hasta la homotopía —deformación continua—, utilizando los grupos de homotopía superiores (clases de homotopía de mapas desde esferas) y las estructuras de fibraciones y complejos CW que hacen que estos invariantes sean tratables.

Scope

Este tema define los grupos de homotopía superiores, que son abelianos para dimensiones de al menos dos, y desarrolla las herramientas que los calculan y relacionan: las fibraciones y la secuencia exacta larga de una fibración, el teorema de Hurewicz que conecta la homotopía y la homología, el teorema de Whitehead sobre equivalencias débiles de complejos CW, y la teoría de la obstrucción. Se examina el problema (en gran parte abierto) de los grupos de homotopía de las esferas, los espacios de Eilenberg-MacLane que representan la cohomología, y el punto de vista de la teoría de categorías modelo que enmarca la teoría de la homotopía de manera abstracta.

Core questions

• ¿Cómo extienden los grupos de homotopía superiores al grupo fundamental, y por qué son abelianos por encima de la dimensión uno?
• ¿Cómo calcula la secuencia exacta larga de una fibración los grupos de homotopía a partir de piezas más simples?
• ¿Qué dice el teorema de Hurewicz sobre el primer grupo de homotopía no nulo y su relación con la homología?
• ¿Por qué son tan difíciles los grupos de homotopía de las esferas y qué estructura los organiza?

Key concepts

• Grupos de homotopía superiores y su estructura abeliana
• Fibraciones, cofibraciones y la secuencia exacta larga de una fibración
• Teorema de Hurewicz y teorema de Whitehead
• Espacios de Eilenberg-MacLane y representabilidad de la cohomología
• Aproximación CW y teoría de la obstrucción

Clinical relevance

La teoría de la homotopía es la columna vertebral abstracta de la topología moderna y proporciona el lenguaje de los fenómenos estables, clasificando espacios para haces y teorías de gauge, y los métodos homotópicos que ahora se utilizan en el álgebra, la geometría algebraica y la física matemática.

History

Hurewicz introdujo los grupos de homotopía superiores en la década de 1930; la secuencia espectral de Serre y el trabajo de Whitehead y otros hicieron posible el cálculo, y las categorías modelo de Quillen (1967) abstrajeron la teoría de la homotopía en un marco aplicable mucho más allá de la topología.

Key figures

• Witold Hurewicz
• J. H. C. Whitehead
• Daniel Quillen

Seminal works

• hatcher2002
• bredon1993

Frequently asked questions

¿Por qué los grupos de homotopía superiores son abelianos, pero el grupo fundamental no tiene por qué serlo?

Para dimensiones de al menos dos, hay suficiente espacio para conmutar dos esferoides entre sí mediante el argumento de Eckmann-Hilton, lo que fuerza la conmutatividad; en la dimensión uno, los lazos no pueden deslizarse uno sobre el otro de esta manera.

¿Se conocen los grupos de homotopía de las esferas?

Solo parcialmente. A pesar del enorme esfuerzo, se han calculado solo en un rango de dimensiones, y su determinación en general sigue siendo uno de los problemas abiertos más profundos de la topología.