Variedades Diferenciables

Una variedad diferenciable es un espacio que localmente se asemeja al espacio euclidiano y que se construye mediante cambios de coordenadas suaves, lo que permite realizar cálculos en espacios curvos.

Definition

Una variedad diferenciable (suave) de dimensión n es un espacio topológico de Hausdorff segundo-contable equipado con un atlas de cartas a subconjuntos abiertos del espacio euclidiano n-dimensional cuyas funciones de transición son infinitamente diferenciables.

Scope

Este tema define las variedades mediante atlas de cartas con mapas de transición suaves, desarrolla estructuras suaves y aborda las construcciones básicas: subvariedades, los teoremas de rango y de valor regular que establecen los conjuntos de nivel como variedades, particiones de la unidad y encajes en el espacio euclidiano (el teorema de encaje de Whitney). Introduce la distinción entre estructuras topológicas y suaves, la sorprendente existencia de estructuras suaves exóticas y los grupos de Lie como variedades con operaciones de grupo compatibles.

Core questions

• ¿Cómo permiten las cartas y los mapas de transición suaves que el cálculo se transporte a un espacio curvo de manera inequívoca?
• ¿Cuándo un conjunto de nivel de un mapa suave posee una estructura de variedad natural?
• ¿Por qué toda variedad suave puede ser encajada en algún espacio euclidiano?
• ¿Cómo puede una única variedad topológica admitir estructuras suaves no equivalentes?

Key concepts

• Cartas, atlas y mapas de transición suaves
• Estructuras suaves y subvariedades
• Teorema del valor regular y conjuntos de nivel como variedades
• Particiones de la unidad y el teorema de encaje de Whitney
• Estructura topológica versus suave y variedades exóticas

Clinical relevance

Las variedades son el escenario universal para la geometría y la física modernas: los espacios de configuración y de fase en mecánica, el espacio-tiempo en la relatividad general y los grupos de Lie en simetría son todas variedades, y las sutilezas de la estructura suave descubiertas por Milnor reconfiguraron la topología del siglo XX.

History

La noción de variedad de Riemann de 1854 se hizo rigurosa a principios del siglo XX mediante la definición por atlas; los teoremas de encaje de Whitney de la década de 1930 fundamentaron la teoría abstracta, y el descubrimiento de Milnor en 1956 de 7-esferas exóticas reveló que la estructura suave contiene información más allá de la topología.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

¿Qué hace que una variedad sea diferenciable en lugar de solo topológica?

Una variedad topológica solo requiere cartas al espacio euclidiano; una variedad diferenciable requiere adicionalmente que los mapas de transición entre cartas superpuestas sean suaves, de modo que la noción de una función suave en la variedad esté bien definida.

¿Qué es una esfera exótica?

Es una variedad homeomorfa pero no difeomorfa a la esfera estándar; el descubrimiento de Milnor de tales estructuras en la 7-esfera demostró que las estructuras suaves no están determinadas por la topología subyacente.