Wellen in kontinuierlichen Medien

Störungen in elastischen Festkörpern und Fluiden breiten sich als mechanische Wellen aus, die durch die Wellengleichung beschrieben werden, einschließlich Schall in Fluiden sowie Longitudinal- und Transversalwellen in Festkörpern.

Definition

Wellen in kontinuierlichen Medien sind sich ausbreitende Störungen eines Fluids oder eines elastischen Festkörpers, die durch die Wellengleichung beschrieben werden, welche sich aus der Anwendung der Kontinuumsgleichungen der Bewegung auf kleine Deformationen ergibt, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit durch die Steifigkeit und Dichte des Mediums bestimmt wird.

Scope

Dieses Thema behandelt die Ausbreitung mechanischer Wellen in kontinuierlichen Medien: die Ableitung der Wellengleichung aus der Kontinuumsdynamik, die Schallgeschwindigkeit in Fluiden und die longitudinalen und transversalen elastischen Wellen in Festkörpern, Dispersionsrelationen, Energie- und Impulstransport durch Wellen sowie grundlegende Wellenphänomene wie Reflexion und den Doppler-Effekt. Es verbindet Kontinuumsmechanik mit Akustik und Seismologie.

Core questions

• Wie entsteht die Wellengleichung aus der Dynamik eines kontinuierlichen Mediums?
• Was bestimmt die Schallgeschwindigkeit in Fluiden und elastische Wellen in Festkörpern?
• Wie unterscheiden sich Longitudinal- und Transversalwellen in Festkörpern und Fluiden?

Key concepts

• Wellengleichung
• Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
• Longitudinal- und Transversalwellen
• Schallgeschwindigkeit
• Dispersionsrelation
• Reflexion und der Doppler-Effekt

Key theories

Wellengleichung für elastische und akustische Wellen

Kleine Störungen in einem elastischen oder fluiden Medium gehorchen der Wellengleichung, wobei die Ausbreitungsgeschwindigkeit durch das Verhältnis eines Elastizitätsmoduls oder der Kompressibilität zur Dichte des Mediums bestimmt wird.

Schallwellen in Fluiden

Akustische Wellen sind kleine adiabatische Kompressionen und Verdünnungen, deren Geschwindigkeit durch die Kompressibilität und Dichte des Fluids bestimmt wird und die sich als longitudinale Druckstörungen ausbreiten.

Clinical relevance

Die Theorie der mechanischen Wellen ist die Grundlage für Akustik und Lärmschutz, Ultraschall und zerstörungsfreie Prüfung, die Seismologie zur Untersuchung von Erdbeben und des Erdinneren sowie Sonar und Unterwasserakustik, überall dort, wo sich Störungen durch Festkörper oder Fluide bewegen.

History

Newton schätzte erstmals die Schallgeschwindigkeit aus der Elastizität der Luft ab, und d'Alembert leitete 1747 die eindimensionale Wellengleichung für die schwingende Saite ab. Die vollständige Theorie der elastischen und akustischen Wellen wurde im neunzehnten Jahrhundert entwickelt und gipfelte in Lord Rayleighs umfassender „Theory of Sound“ und der Analyse von Oberflächenwellen, die seinen Namen tragen.

Key figures

• Jean le Rond d'Alembert
• Isaac Newton
• Lord Rayleigh

Seminal works

• french1971
• landaufluid1987

Frequently asked questions

Warum unterstützen Festkörper Transversalwellen, Fluide aber im Allgemeinen nicht?

Transversalwellen erfordern eine rückstellende Scherspannung; Festkörper widerstehen Scherung und übertragen daher transversale (Scher-)Wellen, während gewöhnliche Fluide keine statische Scherung aufrechterhalten können und nur longitudinale Druck- (Schall-)Wellen übertragen.

Was bestimmt die Geschwindigkeit einer mechanischen Welle?

Sie wird durch die Steifigkeit des Mediums im Verhältnis zu seiner Trägheit bestimmt: ungefähr die Quadratwurzel eines Elastizitätsmoduls oder der Kompressibilität geteilt durch die Dichte, sodass steifere oder leichtere Medien schnellere Wellen übertragen.