Elastizität und Spannung-Dehnung

Elastizität beschreibt, wie sich Festkörper unter Last verformen und ihre Form wiederherstellen, wobei der innere Spannungstensor über die elastischen Konstanten des Materials mit dem Dehnungstensor in Beziehung gesetzt wird.

Definition

Elastizität ist die Kontinuumstheorie der reversiblen Verformung von Festkörpern, bei der der Spannungstensor, der innere Kräfte beschreibt, für kleine Verformungen linear mit dem Dehnungstensor, der die Verformung beschreibt, über die Elastizitätsmoduln des Materials in Beziehung steht.

Scope

Dieses Thema behandelt die Spannungs- und Dehnungstensoren eines verformbaren Festkörpers, das verallgemeinerte Hookesche Gesetz, das sie in Beziehung setzt, die Elastizitätsmoduln (Young-Modul, Schermodul, Kompressionsmodul, Poissonzahl) für isotrope Materialien, die Gleichungen des elastischen Gleichgewichts und die in einem verformten Körper gespeicherte elastische Energie. Es ist die kontinuumsmechanische Beschreibung kleiner reversibler Verformungen.

Core questions

• Wie beschreiben die Spannungs- und Dehnungstensoren den Zustand eines verformten Festkörpers?
• Was setzt das verallgemeinerte Hookesche Gesetz in Beziehung und durch welche Moduln?
• Wie wird die elastische Energie eines verformten Körpers ausgedrückt?

Key concepts

• Spannungstensor
• Dehnungstensor
• Young-Modul und Poissonzahl
• Schermodul und Kompressionsmodul
• Elastische Energie
• Gleichgewichtsgleichungen

Key theories

Verallgemeinertes Hookesches Gesetz

Für kleine Verformungen ist der Spannungstensor eine lineare Funktion des Dehnungstensors; für ein isotropes Material reduziert sich dies auf zwei unabhängige elastische Konstanten, die Spannung und Dehnung in Beziehung setzen.

Gleichungen des elastischen Gleichgewichts

Der Ausgleich innerer Spannungen gegen angewandte Volumenkräfte ergibt die Gleichgewichtsgleichungen, deren Lösung das Verformungsfeld eines belasteten elastischen Körpers unter Berücksichtigung seiner Randbedingungen liefert.

Clinical relevance

Die Elastizitätstheorie ist die Grundlage der Struktur- und Maschinenbauanalyse und bestimmt die Konstruktion von Trägern, Säulen, Druckbehältern und Maschinenteilen, die Vorhersage von Verformung und Versagen unter Last sowie die Modellierung elastischer biologischer Gewebe in der Biomechanik.

History

Das Hookesche Gesetz aus dem 17. Jahrhundert, wonach die Ausdehnung proportional zur Kraft ist, begründete die Untersuchung der Elastizität, die Navier und Cauchy in den 1820er Jahren mit der Einführung des Spannungstensors und der elastischen Konstanten zu einer Kontinuumstheorie entwickelten. Green und andere stellten die elastische Energie auf eine solide thermodynamische Grundlage, und die Theorie wurde im 19. Jahrhundert zentral für das Ingenieurwesen.

Key figures

• Robert Hooke
• Augustin-Louis Cauchy
• Claude-Louis Navier
• George Green

Seminal works

• landauelasticity1986
• timoshenko1970

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen Spannung und Dehnung?

Dehnung ist das dimensionslose Maß dafür, wie stark sich ein Material verformt, die relative Längen- oder Formänderung, während Spannung die innere Kraft pro Flächeneinheit ist, die das Material als Reaktion entwickelt; Elastizität setzt beides in Beziehung.

Warum reichen zwei elastische Konstanten für ein isotropes Material aus?

Isotropie bedeutet, dass das Material in alle Richtungen identisch reagiert, was den allgemeinen Elastizitätstensor auf zwei unabhängige Konstanten beschränkt, die üblicherweise als Young-Modul und Poissonzahl oder als Scher- und Kompressionsmodul angenommen werden.