Spannung, Dehnung und Kontinuumsmechanik der Erde

Die Deformation der Erde, von der elastischen Erdbebenverformung bis zum viskosen Mantelstrom, wird durch die Kontinuumsmechanik beschrieben, die die im Gestein wirkende Spannung mit der von ihr erzeugten Dehnung und dem Fluss in Beziehung setzt.

Definition

Die Kontinuumsmechanik der Erde ist die Anwendung der Mechanik kontinuierlicher Medien, der Spannungs- und Dehnungstensoren sowie ihrer maßgeblichen Erhaltungsgesetze und konstitutiven Beziehungen, um zu beschreiben, wie sich die feste Erde unter angelegten Kräften elastisch, viskos und plastisch verformt.

Scope

Dieses Thema behandelt die kontinuumsmechanischen Grundlagen der Geodynamik: die Spannungs- und Dehnungstensoren, die Gleichgewichts- und Impulserhaltungsgleichungen sowie die konstitutiven Beziehungen, die Spannung und Deformation miteinander verknüpfen. Es behandelt die lineare Elastizität und das Hookesche Gesetz für kurzzeitige Deformationen, viskoses und viskoelastisches Verhalten für langzeitige Fließprozesse sowie die kombinierten elastischen, viskosen und plastischen Reaktionen, die Erdmaterialien über verschiedene Zeitskalen hinweg beschreiben. Der Schwerpunkt liegt auf dem mathematischen Rahmen, der sowohl der seismischen Deformation als auch der Mantelkonvektion zugrunde liegt.

Core questions

• Wie werden Spannung und Dehnung als Tensoren in einer sich verformenden Erde dargestellt?
• Welche Erhaltungsgesetze regeln das Gleichgewicht und die Bewegung kontinuierlicher Medien?
• Wie beschreiben elastische, viskose und viskoelastische konstitutive Gesetze Erdmaterialien?
• Warum verhält sich dasselbe Gestein auf kurzen Zeitskalen elastisch und auf langen viskos?

Key concepts

• Spannungs- und Dehnungstensoren
• Gleichgewicht und Impulserhaltung
• Lineare Elastizität und Hookesches Gesetz
• Viskose und viskoelastische konstitutive Beziehungen
• Spröde, duktile und plastische Deformationsregime

Key theories

Lineare Elastizität

Bei kleinen, kurzzeitigen Deformationen gehorcht Gestein dem Hookeschen Gesetz, wobei die Spannung proportional zur Dehnung durch elastische Moduln ist; dieser Rahmen liegt der Ausbreitung seismischer Wellen, dem Aufbau von Dehnung vor Erdbeben und der Biegung der Lithosphäre zugrunde.

Viskoelastische Rheologie von Erdmaterialien

Über lange Zeitskalen entspannt sich Gestein und fließt viskos, sodass sein Verhalten durch kombinierte viskoelastische Modelle beschrieben wird, bei denen die Reaktion von der Zeitskala der Belastung abhängt, wodurch starres elastisches Verhalten bei Erdbeben mit kriechähnlichem Fließen bei Konvektion in Einklang gebracht wird.

Mechanisms

Angelegte Kräfte erzeugen einen Zustand innerer Spannung, der durch einen Tensor beschrieben wird; das Material reagiert mit Dehnung oder Fließen gemäß seinem konstitutiven Gesetz, wobei es bei kleinen, schnellen Belastungen elastisch zurückfedert, aber unter anhaltender Spannung irreversibel kriecht, wenn Defekte wandern, sodass das dominante Verhalten, elastisch, viskos oder plastisch, von der Größe, Dauer, Temperatur und dem Umgebungsdruck der Belastung abhängt.

Clinical relevance

Dieser Kontinuumsrahmen liegt der Modellierung der seismischen Wellenausbreitung, des Erdbeben-Spannungszyklus, der Lithosphärenbiegung, der glazialisostatischen Anpassung und der Mantelkonvektion zugrunde und bildet somit eine gemeinsame mathematische Basis in der Geophysik.

History

Cauchy formalisierte im neunzehnten Jahrhundert den Spannungstensor und die Elastizitätsgleichungen, aufbauend auf den Arbeiten von Navier, Hooke und Euler; die Geodynamik des zwanzigsten Jahrhunderts adaptierte diesen Kontinuumsrahmen und fügte viskose und viskoelastische konstitutive Gesetze hinzu, um das gesamte Spektrum der Deformation der festen Erde zu beschreiben.

Key figures

• Augustin-Louis Cauchy
• Donald Turcotte
• Giorgio Ranalli

Seminal works

• turcotte2014
• ranalli1995
• malvern1969

Frequently asked questions

Was ist der Unterschied zwischen Spannung und Dehnung?

Spannung ist die innere Kraft pro Flächeneinheit, die in einem Material wirkt, während Dehnung die resultierende Deformation, die Form- oder Größenänderung, ist; konstitutive Beziehungen wie das Hookesche Gesetz verbinden die beiden und beschreiben, wie eine gegebene Spannung eine gegebene Dehnung erzeugt.

Wie kann Gestein sowohl elastisch sein als auch fließen?

Das Verhalten hängt von der Zeitskala ab: Bei den kurzen, kleinen Deformationen seismischer Wellen federt Gestein elastisch zurück, aber unter Spannungen, die über Tausende bis Millionen von Jahren wirken, kriecht und fließt es wie eine sehr viskose Flüssigkeit, weshalb derselbe Mantel Erdbeben überträgt und dennoch konvektiert.