p-adische Zahlen

Die p-adischen Zahlen bilden für jede Primzahl p eine alternative Vervollständigung der rationalen Zahlen, bei der die Nähe eher durch Teilbarkeit als durch Größe gemessen wird; sie lokalisieren die Zahlentheorie und offenbaren eine Arithmetik, die die reellen Zahlen verbergen.

Definition

Für eine Primzahl p sind die p-adischen Zahlen die Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des p-adischen Absolutbetrags, bei dem eine Zahl klein ist, wenn sie durch eine hohe Potenz von p teilbar ist; sie bilden einen Körper, der ein prototypischer lokaler Körper ist.

Scope

Dieser Bereich umfasst den p-adischen Absolutbetrag und die Konstruktion der p-adischen Zahlen als Vervollständigung der rationalen Zahlen, die Struktur p-adischer Körper und allgemeinerer lokaler Körper, die p-adische Analysis einschließlich Konvergenz, p-adische Exponential- und Logarithmusfunktionen, das Henselsche Lemma und das Lokal-Global-Prinzip, wonach die Lösung einer Gleichung über den rationalen Zahlen durch all ihre reellen und p-adischen Vervollständigungen untersucht wird.

Sub-topics

• Das Lokal-Global-Prinzip
• p-adische Analysis
• p-adische Körper und lokale Körper

Core questions

• Wie definiert der p-adische Absolutbetrag den Abstand neu, und wie führt die Vervollständigung der rationalen Zahlen zum p-adischen Körper?
• Welche algebraische und topologische Struktur haben p-adische Körper und allgemeine lokale Körper?
• Wie funktioniert die Analysis p-adisch, und was können wir mit dem Henselschen Lemma lösen?
• Wie verknüpft das Lokal-Global-Prinzip die rationale Lösbarkeit mit der Lösbarkeit über den reellen Zahlen und allen p-adischen Körpern?

Key theories

p-adische Vervollständigung und der Satz von Ostrowski

Der Satz von Ostrowski klassifiziert alle Absolutbeträge auf den rationalen Zahlen als den üblichen und die p-adischen; die Vervollständigung bezüglich jedes einzelnen ergibt die reellen Zahlen und die p-adischen Körper, die lokalen Körper der Charakteristik Null.

Henselsches Lemma

Ein Polynom mit einer einfachen Wurzel modulo p hat eine eindeutige p-adische Wurzel, die darauf reduziert wird, sodass die p-adische Lösung von Gleichungen auf die Lösung modulo p und das Anheben reduziert wird, eine p-adische Newton-Methode.

Lokal-Global-Prinzip (Hasse-Prinzip)

Für viele Gleichungen, insbesondere quadratische Formen, ist die Lösbarkeit über den rationalen Zahlen äquivalent zur Lösbarkeit über den reellen Zahlen und über jedem p-adischen Körper, wodurch globale Probleme in lokale umgewandelt werden.

Clinical relevance

Lokale Körper und p-adische Methoden sind in der modernen arithmetischen Geometrie und dem Langlands-Programm unverzichtbar; p-adische L-Funktionen und Galois-Darstellungen beeinflussen auch Vermutungen (wie die von Birch-Swinnerton-Dyer), deren rechnerische Untersuchung die Kryptographie mit elliptischen Kurven unterstützt.

History

Hensel führte die p-adischen Zahlen um 1897 in Analogie zu Potenzreihen in Funktionenkörpern ein. Hasse entwickelte in den 1920er Jahren das Lokal-Global-Prinzip, und der p-adische Standpunkt wurde durch die Arbeiten von Tate, Iwasawa und anderen über lokale Körper, p-adische L-Funktionen und arithmetische Geometrie zentral.

Key figures

• Kurt Hensel
• Helmut Hasse
• Jean-Pierre Serre

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

In welchem Sinne sind zwei Zahlen p-adisch nah?

Zwei ganze Zahlen sind p-adisch nah, wenn ihre Differenz durch eine hohe Potenz der Primzahl p teilbar ist; so sind beispielsweise hohe Potenzen von p p-adisch nahe Null, was der gewöhnlichen Intuition widerspricht.

Warum sollte man überhaupt p-adische Zahlen einführen?

Sie lokalisieren die Arithmetik auf eine einzelne Primzahl, wodurch viele Probleme handhabbar werden: Gleichungen können primzahlweise untersucht werden, und das Lokal-Global-Prinzip führt diese lokalen Lösungen zu globalen Schlussfolgerungen zusammen.