p-adische Körper und lokale Körper

Der p-adische Körper wird durch Vervollständigung der rationalen Zahlen bezüglich des p-adischen Absolutbetrags gebildet; sein Ring der p-adischen ganzen Zahlen, der Restklassenkörper und der Uniformisierer machen ihn zum Modellbeispiel eines lokalen Körpers, dem natürlichen Ort der Arithmetik bei einer einzelnen Primzahl.

Definition

Der p-adische Absolutbetrag einer rationalen Zahl wird durch die Potenz von p bestimmt, die sie teilt. Der Körper der p-adischen Zahlen ist die Vervollständigung der rationalen Zahlen unter diesem Absolutbetrag; ein lokaler Körper ist ein Körper, der bezüglich einer diskreten Bewertung vollständig ist und einen endlichen Restklassenkörper besitzt.

Scope

Dieses Thema behandelt die p-adische Bewertung und den Absolutbetrag, die ultrametrische Ungleichung, Ostrowskis Klassifikation der Absolutbeträge auf den rationalen Zahlen, die Konstruktion der p-adischen Zahlen und des Rings der p-adischen ganzen Zahlen, das maximale Ideal, den Restklassenkörper und den Uniformisierer, die Beschreibung von Elementen durch p-adische Ziffernentwicklungen, Hensels Lemma zum Anheben von Wurzeln und den allgemeinen Begriff eines lokalen Körpers als vollständiger diskret bewerteter Körper mit endlichem Restklassenkörper.

Core questions

• Wie ist der p-adische Absolutbetrag definiert, und warum erfüllt er die starke ultrametrische Ungleichung?
• Warum besagt Ostrowskis Theorem, dass dies im Wesentlichen die einzigen Absolutbeträge auf den rationalen Zahlen neben dem üblichen sind?
• Was sind die p-adischen ganzen Zahlen, und wie beschreiben Ziffernentwicklungen und der Restklassenkörper ihre Struktur?
• Wie hebt Hensels Lemma Lösungen vom Restklassenkörper in den vollständigen lokalen Körper an?

Key theories

Ostrowskis Theorem und Vervollständigungen

Jeder nichttriviale Absolutbetrag auf den rationalen Zahlen ist äquivalent zum gewöhnlichen oder zu einem p-adischen; die Vervollständigung unter jedem ergibt die reellen Zahlen oder einen p-adischen Körper, wodurch alle Stellen der rationalen Zahlen dargestellt werden.

Struktur der p-adischen ganzen Zahlen

Die p-adischen ganzen Zahlen bilden einen kompakten lokalen Ring mit maximalem Ideal, das von p erzeugt wird, und Restklassenkörper, der den ganzen Zahlen modulo p entspricht; jede p-adische Zahl hat eine eindeutige Basis-p-Entwicklung, die möglicherweise nach rechts unendlich ist.

Hensels Lemma

Eine einfache Wurzel eines Polynoms modulo p hebt sich eindeutig zu einer Wurzel in den p-adischen ganzen Zahlen an; dies lässt den lokalen Körper sich wie eine algebraisch bequeme Erweiterung des Restklassenkörpers verhalten.

Clinical relevance

Lokale Körper sind der Schauplatz der lokalen Klassenkörpertheorie und der lokalen Komponenten automorpher Darstellungen im Langlands-Programm; Hensel-Lifting ist auch ein algorithmisches Werkzeug bei der Polynomfaktorisierung und bei der schnellen Berechnung modulo Primzahlpotenzen.

History

Hensel führte die p-adischen Zahlen 1897 ein, um Potenzreihentechniken in die Zahlentheorie zu importieren, und bewies das nach ihm benannte Lifting-Lemma. Ostrowski klassifizierte 1916 die Absolutbeträge auf den rationalen Zahlen und stellte klar, dass die reellen und p-adischen Vervollständigungen die Möglichkeiten ausschöpfen und den lokalen Standpunkt begründen.

Key figures

• Kurt Hensel
• Alexander Ostrowski
• Helmut Hasse

Seminal works

• serre1973
• koblitz1984

Frequently asked questions

Was ist ein Uniformisierer?

Es ist ein Erzeuger des maximalen Ideals des Bewertungsrings eines lokalen Körpers; für die p-adischen Zahlen dient die Primzahl p selbst als Uniformisierer, und jedes nicht-null Element ist eine Einheit mal einer Potenz davon.

Warum sind die p-adischen ganzen Zahlen kompakt?

Sie sind ein inverser Limes der endlichen Ringe der ganzen Zahlen modulo Potenzen von p, was sie zu einer abgeschlossenen und beschränkten Menge in der p-adischen Metrik und somit kompakt macht, im Gegensatz zu den gewöhnlichen ganzen Zahlen.