Gruppendarstellung

Eine Gruppendarstellung realisiert die Elemente einer Gruppe als invertierbare lineare Transformationen eines Vektorraums, wodurch die Gruppentheorie in die lineare Algebra übersetzt und die Struktur durch Charaktere offengelegt wird.

Definition

Eine Darstellung einer Gruppe G auf einem Vektorraum V ist ein Homomorphismus von G in die Gruppe der invertierbaren linearen Operatoren auf V, äquivalent ein Modul über der Gruppenalgebra von G.

Scope

Dieses Thema behandelt Darstellungen und ihre Äquivalenz, irreduzible Darstellungen, Maschkes Theorem über die vollständige Reduzierbarkeit, Schurs Lemma, Charaktere und Orthogonalitätsrelationen sowie die Zerlegung von Darstellungen über Körpern der Charakteristik Null. Es ist der Zugang zur Darstellungstheorie endlicher Gruppen.

Core questions

• Wie kann eine Gruppe durch Matrizen modelliert werden, die auf einem Vektorraum operieren?
• Wann zerfällt eine Darstellung in irreduzible Bestandteile?
• Welche Informationen über eine Darstellung werden durch ihren Charakter erfasst?
• Wie klassifizieren Orthogonalitätsrelationen die irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe?

Key theories

Maschkes Theorem

Über einem Körper, dessen Charakteristik die Gruppenordnung nicht teilt, ist jede Darstellung einer endlichen Gruppe vollständig reduzibel und zerfällt als direkte Summe irreduzibler Darstellungen.

Schurs Lemma

Jeder Homomorphismus zwischen irreduziblen Darstellungen ist entweder Null oder ein Isomorphismus, und über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind die Endomorphismen einer irreduziblen Darstellung Skalare, der Grundstein der Charaktertheorie.

Charakter-Orthogonalitätsrelationen

Die Charaktere der irreduziblen komplexen Darstellungen einer endlichen Gruppe bilden eine orthonormale Basis für den Raum der Klassenfunktionen, sodass die Anzahl der Irreduziblen gleich der Anzahl der Konjugationsklassen ist und jede Darstellung durch ihren Charakter bestimmt wird.

Clinical relevance

Die Darstellungstheorie macht endliche Gruppen durch lineare Algebra berechenbar und ist unverzichtbar in der Quantenmechanik und Spektroskopie (symmetrieangepasste Basen und Auswahlregeln), in der Kristallographie und in der Analyse von Symmetrie in der Physik sowie in der Zahlentheorie durch die Darstellungen, die Galois-Gruppen zugeordnet sind.

History

Frobenius führte in den 1890er Jahren Charaktere und Darstellungen endlicher Gruppen ein, und Schur, Burnside und Weyl entwickelten die Theorie zu einem mächtigen Strukturwerkzeug. Maschkes Theorem und die Orthogonalitätsrelationen gaben dem Fachgebiet die heute gelehrte Form und verbanden es mit der Physik der Symmetrie.

Key figures

• Georg Frobenius
• Issai Schur
• William Burnside
• Hermann Weyl

Seminal works

• serre1977
• dummit2004
• lang2002

Frequently asked questions

Warum sollte man eine Gruppe überhaupt mit Matrizen darstellen?

Die lineare Algebra ist weitaus berechenbarer als die abstrakte Gruppentheorie, und Charaktere reduzieren eine Darstellung auf eine einzige Klassenfunktion. Die Charaktertheorie von Frobenius ermöglichte es Mathematikern, tiefgreifende Ergebnisse zu beweisen, wie Burnside's Theorem über Gruppen, deren Ordnung nur durch zwei Primzahlen teilbar ist, die sonst unzugänglich gewesen wären.

Was bedeutet es, wenn eine Darstellung irreduzibel ist?

Eine irreduzible Darstellung besitzt keinen echten, nicht-trivialen Unterraum, der von jedem Gruppenelement erhalten bleibt; sie ist ein Baustein. Maschkes Theorem besagt, dass in guter Charakteristik jede Darstellung eine direkte Summe dieser Bausteine ist.