Zeichentabellen und Darstellungen

Zeichentabellen tabellieren, wie sich die irreduziblen Darstellungen einer Punktgruppe unter ihren Symmetrieoperationen verhalten, und stellen das Instrumentarium zur Verfügung, um Orbitale und Schwingungen nach Symmetrie zu klassifizieren.

Definition

Zeichentabellen und Darstellungen sind der Teil der Gruppentheorie, der jeder Punktgruppenoperation einen numerischen Charakter für jede irreduzible Darstellung zuweist, wodurch jede Menge molekularer Funktionen nach Symmetrie klassifiziert werden kann.

Scope

Dieses Thema behandelt die in der Chemie verwendete Darstellungstheorie: die irreduziblen Darstellungen einer Punktgruppe und die Zeichentabellen, die diese zusammenfassen, die Konstruktion reduzierbarer Darstellungen aus einer gewählten Basis, wie z. B. einer Menge von Bindungen oder Atomorbitalen, die Reduktionsformel, die diese zerlegt, und die Projektion symmetrieadaptierter Linearkombinationen. Es behandelt die formalen Werkzeuge und überlässt deren Anwendung auf Molekülorbitaldiagramme und Spektren anderen Themen.

Core questions

• Was ist eine irreduzible Darstellung, und was enthält eine Zeichentabelle?
• Wie wird eine reduzierbare Darstellung aus einer gewählten Basis aufgebaut?
• Wie zerlegt die Reduktionsformel eine Darstellung?
• Wie werden symmetrieadaptierte Linearkombinationen erzeugt?

Key concepts

• Irreduzible Darstellungen
• Zeichentabellen
• Reduzierbare Darstellungen
• Reduktions- (Zerlegungs-) Formel
• Projektionsoperatoren
• Symmetrieadaptierte Linearkombinationen

Key theories

Irreduzible Darstellungen und Zeichentabellen

Jede Punktgruppe besitzt einen festen Satz irreduzibler Darstellungen, deren Charaktere unter den Symmetrieoperationen in ihrer Zeichentabelle tabelliert sind, wodurch Bezeichnungen für Orbitale, Schwingungen und andere Funktionen bereitgestellt werden.

Reduzierbare Darstellungen und die Reduktionsformel

Die Wahl einer Basis von Bindungen oder Orbitalen erzeugt eine reduzierbare Darstellung, deren Charaktere, in die Reduktionsformel eingegeben, die Häufigkeit jeder enthaltenen irreduziblen Darstellung angeben, wodurch die Basis nach Symmetrie klassifiziert wird.

Symmetrieadaptierte Linearkombinationen

Projektionsoperatoren, die aus der Zeichentabelle gebildet werden, kombinieren äquivalente Basisfunktionen zu symmetrieadaptierten Linearkombinationen, die sich als einzelne irreduzible Darstellungen transformieren, den Bausteinen der Molekülorbital-Konstruktion.

Clinical relevance

Die Darstellungstheorie ist das Arbeitsinstrument zum Zählen und Zuordnen infrarot- und Raman-aktiver Schwingungen, zum Erstellen von Molekülorbitaldiagrammen und zum Bestimmen der Symmetriebezeichnungen, die in der gesamten anorganischen Spektroskopie und Bindungsanalyse benötigt werden.

History

Die Darstellungstheorie endlicher Gruppen wurde um 1900 von Frobenius, Schur und anderen entwickelt und in den 1920er Jahren von Wigner und Weyl auf Physik und Chemie angewendet. Cottons Lehrbuch machte später Zeichentabellen und die Reduktionsformel zu Standardwerkzeugen für praktizierende Chemiker.

Key figures

• F. Albert Cotton
• Eugene Wigner
• Hermann Weyl

Seminal works

• cottongrouptheory1990
• carter1998
• weller2018

Frequently asked questions

Was stellt ein Charakter in einer Zeichentabelle eigentlich dar?

Ein Charakter ist die Spur der Matrix, die eine Symmetrieoperation darstellt, die auf eine Basis wirkt; für eine gegebene irreduzible Darstellung ist es eine einzelne Zahl, die angibt, wie sich Funktionen dieser Symmetrie unter der Operation verhalten.

Warum reduzieren Chemiker eine reduzierbare Darstellung?

Die Reduktion einer Darstellung, die aus einer gewählten Basis – wie den Metall-Ligand-Bindungen – aufgebaut ist, zeigt, welche irreduziblen Darstellungen die Basis aufspannt, was direkt Aufschluss darüber gibt, welche Orbitalkombinationen Bindungen eingehen können und welche spektroskopischen Übergänge erlaubt sind.