Finite-Volumen-Methoden

Finite-Volumen-Methoden diskretisieren Erhaltungssätze, indem sie das Gebiet in Kontrollvolumina unterteilen und den Durchschnittswert in jedem Volumen aus den Flüssen über dessen Grenzen aktualisieren, wodurch Masse, Impuls und Energie konstruktionsbedingt erhalten bleiben.

Definition

Eine Finite-Volumen-Methode ist eine Diskretisierung eines Erhaltungssatzes, die den Durchschnitt der Lösung über jedes Kontrollvolumen speichert und diese Durchschnitte durch den Ausgleich der numerischen Flüsse durch die Volumengrenzen entwickelt, sodass das diskrete Schema lokal und global konservativ ist.

Scope

Dieses Thema behandelt die integrale (Erhaltungs-)Form von partiellen Differentialgleichungen (PDEs), zellgemittelte Unbekannte und numerische Flussfunktionen, die Godunov-Methode und approximative Riemann-Löser, hochauflösende Schemata mit Slope-Limitern, die störende Oszillationen in der Nähe von Schocks unterdrücken, sowie die Rolle von Finite-Volumen-Methoden in der numerischen Strömungsmechanik.

Core questions

• Warum macht die Arbeit mit der integralen Erhaltungsform die Methode inhärent konservativ?
• Wie werden numerische Flüsse an Zellgrenzflächen definiert, und was macht einen Fluss konsistent und stabil?
• Wie erfassen Godunov-artige Schemata und Riemann-Löser Diskontinuitäten wie Schocks?
• Wie vermeiden hochauflösende Methoden die Oszillationen von Schemata höherer Ordnung in der Nähe von Diskontinuitäten?

Key theories

Erhaltung und der numerische Fluss

Durch die Aktualisierung von Zellmittelwerten mittels eines einzigen numerischen Flusses, der zwischen benachbarten Zellen geteilt wird, konserviert die Methode die zugrunde liegende Größe exakt; Konsistenz des Flusses mit dem wahren Fluss und eine geeignete Stabilitätsbedingung führen zur Konvergenz zu schwachen Lösungen des Erhaltungssatzes.

Godunov-Methoden und Riemann-Löser

Godunovs Ansatz behandelt jede Zellgrenzfläche als ein lokales Riemann-Problem, dessen (exakte oder approximative) Lösung den Fluss definiert, wodurch das Schema Schocks und Kontaktdiskontinuitäten scharf und korrekt erfassen kann.

Hochauflösende Schemata und Limiter

Um die Genauigkeit erster Ordnung grundlegender Godunov-Schemata zu überwinden, ohne störende Oszillationen einzuführen, rekonstruieren hochauflösende Methoden Grenzflächenzustände höherer Ordnung und wenden Steigungs- oder Flusslimiter an, die eine totalvariationsmindernde Eigenschaft in der Nähe von Diskontinuitäten erzwingen.

Mechanisms

Die Integration des Erhaltungssatzes über ein Kontrollvolumen wandelt räumliche Ableitungen in Oberflächenflüsse um, sodass die Änderungsrate eines Zellmittelwerts dem Nettofluss durch seine Flächen entspricht. Da benachbarte Zellen jeden Flächenfluss teilen, tritt alles, was eine Zelle verlässt, in ihre Nachbarzelle ein, und die Gesamtmenge bleibt exakt erhalten. Der Grenzflächenfluss wird durch die exakte oder approximative Lösung des Riemann-Problems berechnet, das durch die unterschiedlichen Zustände auf beiden Seiten entsteht; dies erfasst Wellenstrukturen und Diskontinuitäten. Hochauflösende Varianten rekonstruieren zunächst ein Profil höherer Ordnung innerhalb jeder Zelle und begrenzen es, um neue Extrema zu verhindern, wodurch eine Genauigkeit zweiter Ordnung in glatten Bereichen erreicht wird, während sie an Schocks oszillationsfrei bleiben.

Clinical relevance

Finite-Volumen-Methoden sind die Standarddiskretisierung in der numerischen Strömungsmechanik und von zentraler Bedeutung für die Simulation von kompressiblen und inkompressiblen Strömungen, Aerodynamik, Schock- und Detonationsphänomenen, Flachwasser- sowie atmosphärischen und ozeanischen Strömungen und der Simulation von porösen Medien und Reservoiren, gerade weil sie physikalische Erhaltungssätze respektieren und Diskontinuitäten robust behandeln.

History

Der konservative, auf dem Riemann-Problem basierende Ansatz entstand mit Godunovs Schema von 1959; die Entwicklung hochauflösender, totalvariationsmindernder Methoden und Limiter durch van Leer, Harten und andere in den 1970er und 1980er Jahren machte Finite-Volumen-Methoden zum dominierenden Rahmenwerk für kompressible Strömungen und andere hyperbolische Erhaltungssätze.

Key figures

• Sergei Godunov
• Peter Lax
• Bram van Leer
• Randall J. LeVeque
• Eleuterio Toro

Seminal works

• leveque2002
• toro2009

Frequently asked questions

Warum sind Finite-Volumen-Methoden konservativ?

Sie aktualisieren Zellmittelwerte unter Verwendung von Flüssen, die zwischen benachbarten Zellen geteilt werden, sodass jede Menge, die eine Zelle verlässt, exakt in die angrenzende Zelle eintritt. Über das gesamte Gebiet summiert, ändert sich die Gesamtmenge nur durch die Gebietsgrenze, was dem physikalischen Erhaltungssatz entspricht.

Warum werden Limiter in der Nähe von Schocks benötigt?

Einfache Schemata höherer Ordnung erzeugen störende Oszillationen (Überschwingen und Unterschwingen) in der Nähe von Diskontinuitäten. Steigungs- und Flusslimiter erkennen steile Gradienten und reduzieren lokal die Rekonstruktionsordnung, wodurch die Lösung monoton und oszillationsfrei bleibt, während die Genauigkeit in glatten Bereichen erhalten bleibt.