Blochs Theorem und Energiebänder

Blochs Theorem besagt, dass die Wellenfunktion eines Elektrons in einem periodischen Gitter eine ebene Welle multipliziert mit einer gitterperiodischen Funktion ist, was die erlaubten Energien sofort in Bänder organisiert.

Definition

Blochs Theorem besagt, dass die Energieeigenzustände eines Elektrons in einem periodischen Potenzial die Form einer ebenen Welle haben, die durch eine Funktion mit der Periodizität des Gitters moduliert wird; die Eigenwerte bilden als Funktion des Kristallimpulses kontinuierliche Energiebänder, die durch verbotene Lücken getrennt sind.

Scope

Dieses Thema beweist und interpretiert Blochs Theorem: Das periodische Potenzial zwingt Eigenzustände dazu, Bloch-Wellen zu sein, die durch einen Kristallimpuls und einen Bandindex gekennzeichnet sind; das Spektrum spaltet sich in Energiebänder auf, die durch Lücken getrennt sind, und die Bänder können in erweiterten, reduzierten oder wiederholten Zonenschemata dargestellt werden. Es behandelt die Bedeutung des Kristallimpulses, die Gruppengeschwindigkeit von Bloch-Elektronen und die Anzahl der Zustände pro Band. Es ist die Grundlage, auf der die Modellapproximationen und Fermi-Flächen-Themen aufbauen.

Core questions

• Warum erzwingt die Gitterperiodizität, dass die elektronischen Wellenfunktionen die Bloch-Form annehmen?
• Was ist Kristallimpuls, und wie unterscheidet er sich vom gewöhnlichen Impuls?
• Wie kennzeichnet der Bandindex zusammen mit dem Kristallimpuls jeden elektronischen Zustand?
• Warum gibt es in einem Band genau so viele Zustände wie primitive Zellen im Kristall?

Key concepts

• Bloch-Wellenfunktion und gitterperiodischer Anteil
• Kristallimpuls und Bandindex
• Energiebänder und Bandlücken
• Erweitertes, reduziertes und wiederholtes Zonenschema
• Gruppengeschwindigkeit eines Bloch-Elektrons

Key theories

Blochs Theorem

Für ein einzelnes Elektron in einem periodischen Potenzial sind die Eigenzustände Produkte einer ebenen Welle und einer periodischen Funktion, sodass jeder durch einen Kristallimpuls in der Brillouin-Zone und einen diskreten Bandindex indiziert wird, was ein bandstrukturiertes Spektrum ergibt.

Clinical relevance

Blochs Theorem ist der Eckpfeiler der Festkörperphysik: Es erklärt, warum sich Elektronen ballistisch durch einen perfekten Kristall bewegen, definiert die Bandstruktur, die zur Klassifizierung von Leitern und Isolatoren verwendet wird, und liegt im Wesentlichen jeder Elektronenstruktur-Berechnung zugrunde.

History

Felix Bloch bewies das Theorem in seiner Doktorarbeit von 1928 (veröffentlicht 1929) unter der Betreuung von Heisenberg, wodurch geklärt wurde, warum Elektronen nicht stark durch das dichte Ionengitter gestreut werden; das Ergebnis verallgemeinert Floquets frühere eindimensionale Theorie periodischer Differentialgleichungen.

Key figures

• Felix Bloch
• Gaston Floquet
• Rudolf Peierls

Seminal works

• bloch1929
• ashcroft1976

Frequently asked questions

Gehorcht der Kristallimpuls der gewöhnlichen Impulserhaltung?

Der Kristallimpuls wird nur bis auf einen reziproken Gittervektor erhalten, da das Gitter Impuls in quantisierten Mengen aufnehmen kann; er kennzeichnet Bloch-Zustände und steuert Auswahlregeln, ist aber nicht der wahre mechanische Impuls des Elektrons.

Warum impliziert Blochs Theorem Bänder statt eines Kontinuums?

Für jeden Kristallimpuls hat das periodische Schrödinger-Problem eine diskrete Leiter von Lösungen, die durch die Bandnummer indiziert sind; lässt man den Impuls über die Zone variieren, so wird jedes Niveau zu einem kontinuierlichen Band, mit Energielücken dazwischen, die kein Zustand besetzt.