Chi-Quadrat- und exakte Fisher-Tests

Der Chi-Quadrat-Test und der exakte Fisher-Test sind die beiden Standardverfahren, um zu prüfen, ob zwei kategoriale Variablen in einer Kontingenztafel assoziiert oder unabhängig sind. Der Chi-Quadrat-Test vergleicht beobachtete Zellhäufigkeiten mit den unter Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten unter Verwendung einer Großstichprobenapproximation, während der exakte Fisher-Test die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tafel direkt berechnet und bei kleinen Häufigkeiten angewendet wird.

Definition

Der Chi-Quadrat-Assoziationstest misst die Diskrepanz zwischen beobachteten und erwarteten Zellhäufigkeiten unter der Nullhypothese der Unabhängigkeit und bezieht die resultierende Statistik auf eine Chi-Quadrat-Verteilung; der exakte Fisher-Test berechnet stattdessen aus der hypergeometrischen Verteilung bei festgehaltenen Randsummen die exakte Wahrscheinlichkeit von Tafeln, die so extrem oder extremer sind als die beobachtete.

Scope

Dieser Eintrag behandelt die Chi-Quadrat-Statistik nach Pearson und ihre Freiheitsgrade, die Bedingung der erwarteten Häufigkeit, die die Chi-Quadrat-Approximation rechtfertigt, die Kontinuitätskorrektur (Yates-Korrektur), die Logik des exakten Fisher-Tests basierend auf der hypergeometrischen Verteilung und die praktische Frage, wann ein exakter Test die Approximation ersetzen sollte. Er stellt diese als Assoziationstests dar, nicht als klinische Leitlinien, und weist darauf hin, dass sie beurteilen, ob eine Assoziation existiert, nicht wie groß diese ist.

Core questions

• Sind die beiden kategorialen Variablen in dieser Tabelle unabhängig, oder gibt es Hinweise auf eine Assoziation?
• Wie wird die Chi-Quadrat-Statistik aus beobachteten und erwarteten Häufigkeiten gebildet, und wie viele Freiheitsgrade hat sie?
• Wann sind erwartete Häufigkeiten zu klein, um der Chi-Quadrat-Approximation zu vertrauen?
• Wie umgeht der exakte Fisher-Test die Großstichprobenapproximation, und was bedeutet „Konditionierung auf die Randsummen“?

Key concepts

• Beobachtete versus erwartete Häufigkeiten
• Pearson Chi-Quadrat-Statistik
• Freiheitsgrade (r-1)(c-1)
• Großstichproben- (asymptotische) Approximation
• Faustregel für erwartete Häufigkeiten
• Yates-Kontinuitätskorrektur
• Hypergeometrische Verteilung und feste Randsummen
• Exakte versus asymptotische p-Werte

Mechanisms

Unter Unabhängigkeit ist die erwartete Häufigkeit jeder Zelle das Produkt aus ihrer Zeilensumme und ihrer Spaltensumme, geteilt durch die Gesamtsumme. Pearsons Chi-Quadrat-Statistik summiert die quadrierten Differenzen zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten, geteilt durch die erwartete Häufigkeit, über alle Zellen hinweg; für eine r×c-Tafel wird diese Statistik mit einer Chi-Quadrat-Verteilung mit (r−1)(c−1) Freiheitsgraden verglichen, wobei Fisher 1922 das Ergebnis der Freiheitsgrade präzisierte. Die Approximation verschlechtert sich, wenn die erwarteten Häufigkeiten klein sind, was zu der gängigen Richtlinie führt, dass erwartete Häufigkeiten im Allgemeinen etwa fünf überschreiten sollten; die Yates-Kontinuitätskorrektur wurde vorgeschlagen, um die 2×2-Approximation zu verbessern. Der exakte Fisher-Test umgeht die Approximation, indem er die Zeilen- und Spaltenrandsummen als fest betrachtet und aus der hypergeometrischen Verteilung die exakte Wahrscheinlichkeit der beobachteten Tafel und jeder extremeren Tafel berechnet und diese zu einem p-Wert summiert. Da er exakt ist, wird er für dünn besetzte Tafeln bevorzugt, obwohl Übersichten seine bedingte, konservative Natur feststellen und spezifische Auswahlmöglichkeiten unter den verfügbaren Tests empfehlen.

Clinical relevance

Ob eine Studie berichtet, dass eine Exposition mit einem Ergebnis assoziiert ist oder nicht, hängt oft von einem dieser Tests ab. Daher ist das Verständnis ihrer Funktionsweise – und dass ein kleiner p-Wert eine Assoziation signalisiert, aber nichts über deren Größe aussagt – Teil der Bewertung von Gesundheitsforschung. Diese Tests sind Werkzeuge zur Beurteilung von Evidenz für Assoziationen und keine Grundlage für individuelle diagnostische oder Behandlungsentscheidungen.

Epidemiology

Die Chi-Quadrat- und exakten Fisher-Tests sind die Standard-Signifikanztests für 2×2 und größere Kontingenztafeln in der Epidemiologie und klinischen Forschung, die die Risikoverhältnisse und Odds Ratios begleiten, welche dieselben Assoziationen quantifizieren. Der exakte Test wird routinemäßig bei kleinen Stichproben oder seltenen Ereignissen angewendet, bei denen die Chi-Quadrat-Approximation unzuverlässig ist.

History

Karl Pearson führte die Chi-Quadrat-Anpassungsgüte-Statistik im Jahr 1900 ein; Fishers Arbeit von 1922 korrigierte die Freiheitsgrade für Kontingenztafeln, und Fisher entwickelte später den nach ihm benannten exakten Test für kleine Stichproben. Yates schlug seine Kontinuitätskorrektur für 2×2-Tafeln im Jahr 1934 vor. Die moderne Empfehlung unter diesen und verwandten Verfahren wurde in methodologischen Übersichten und Lehrbüchern zusammengefasst.

Debates

Exakte versus asymptotische Tests für kleine 2×2-Tafeln

Fishers exakter Test konditioniert auf beide Randsummen und ist exakt, neigt aber dazu, konservativ zu sein, während der unkorrigierte Chi-Quadrat-Test für kleine Stichproben antikoservativ sein kann und die Yates-Korrektur überkorrigiert; Übersichten geben daher nuancierte Empfehlungen anstelle einer einzigen Regel.

Key figures

• Karl Pearson
• Ronald A. Fisher
• Frank Yates
• Alan Agresti

Seminal works

• pearson-1900
• fisher-1922
• lydersen-2009

Frequently asked questions

Wann sollte der exakte Fisher-Test anstelle des Chi-Quadrat-Tests verwendet werden?

Wenn die Tabelle klein oder dünn besetzt ist – typischerweise wenn eine oder mehrere erwartete Zellhäufigkeiten niedrig sind – kann die Chi-Quadrat-Großstichprobenapproximation unzuverlässig sein, und der exakte Fisher-Test, der eine exakte Wahrscheinlichkeit berechnet, wird bevorzugt.

Sagt mir ein signifikanter Chi-Quadrat-Test, wie stark die Assoziation ist?

Nein. Diese Tests zeigen an, ob es Hinweise auf eine Assoziation gibt; die Stärke der Assoziation wird durch ein separates Effektmaß wie ein Risikoverhältnis oder Odds Ratio vermittelt, das zusammen mit dem p-Wert angegeben werden sollte.