تصنيف سلاسل ماركوف والعودية
يكشف تصنيف حالات سلسلة ماركوف عن الحالات التي تُزار عددًا لا نهائيًا من المرات وتلك التي تُهجر في النهاية، مما يقسم فضاء الحالات إلى فئات متواصلة ذات سلوك مشترك على المدى الطويل.
Definition
يحلل تصنيف الحالات سلسلة ماركوف عن طريق تجميع الحالات التي يمكن أن تصل إلى بعضها البعض في فئات متواصلة وتصنيف كل حالة على أنها عودية إذا عادت السلسلة إليها باحتمالية واحد، أو عابرة إذا كان هناك احتمال إيجابي لعدم العودة إليها أبدًا.
Scope
يغطي هذا الموضوع علاقات الوصول والتواصل، وتفكيك فضاء الحالات إلى فئات متواصلة، وعدم القابلية للاختزال، وثنائية العودية-العبورية ومعاييرها، والعودية الموجبة مقابل العودية الصفرية، والدورية، واستخدام احتمالات المرور الأول والوصول لتحديد هذه الخصائص.
Core questions
- متى تتواصل حالتان، وكيف يقسم هذا فضاء الحالات؟
- ما الذي يميز الحالة العودية عن الحالة العابرة؟
- كيف تُفصل العودية الموجبة عن العودية الصفرية؟
- ما هو الدور الذي تلعبه الدورية في سلوك السلسلة على المدى الطويل؟
Key theories
- ثنائية العودية-العبورية
- تكون الحالة عودية إذا وفقط إذا كان العدد المتوقع للعودات لا نهائيًا، أو ما يعادله، إذا كان مجموع احتمالات عودتها متباعدًا؛ العودية والعبورية هما خاصيتان للفئة تشتركهما جميع الحالات المتواصلة.
- العودية الموجبة مقابل العودية الصفرية
- تكون الحالة العودية عودية موجبة عندما يكون وقت العودة المتوقع محدودًا، وعودية صفرية عندما يكون لا نهائيًا؛ العودية الموجبة ضرورية لوجود توزيع احتمالي ثابت.
Clinical relevance
يحدد تحديد العودية ما إذا كانت المسيرة العشوائية تعود إلى نقطة بدايتها، وما إذا كان الطابور يفرغ عددًا لا نهائيًا من المرات، وما إذا كانت عملية السكان تستمر أو تُمتص؛ وتُعد نتيجة بوليا الكلاسيكية بأن المسيرة العشوائية المتماثلة البسيطة عودية في بعد واحد وبعدين ولكنها عابرة في ثلاثة أبعاد أو أكثر، نتيجة نموذجية.
History
تجلت مسألة العودية من خلال تحليل بوليا عام 1921 للمسيرات العشوائية على الشبكات الصحيحة، وقد طُورت النظرية المنهجية القائمة على الفئات للعودية والعبورية في منتصف القرن العشرين بواسطة تشونغ وفيلر وآخرين إلى الشكل الموجود في الكتب المدرسية الحديثة.
Key figures
- George Polya
- Andrey Markov
- Kai Lai Chung
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- ماذا يعني أن تكون الحالة عودية؟
- بدءًا من تلك الحالة، تعود السلسلة إليها باحتمالية واحد، وبالتالي تعود عددًا لا نهائيًا من المرات؛ الحالة العابرة هي التي قد تغادرها السلسلة إلى الأبد باحتمالية موجبة.
- لماذا يهم البعد في عودية المسيرة العشوائية؟
- المسيرة العشوائية المتماثلة البسيطة عودية في بعد واحد وبعدين ولكنها عابرة في ثلاثة أبعاد وأكثر، لأن احتمال العودة إلى نقطة البداية يعتمد على مدى سرعة هروب المسيرة، والذي يزداد مع البعد.