C*-代数
C*-代数是一种算子代数，它在伴随运算下是封闭的，并且在满足兼容恒等式的范数下是完备的；它抽象了希尔伯特空间上有界算子的代数结构。
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Definition
C*-代数是一个复巴拿赫代数，配备一个对合运算，使得一个元素及其伴随的乘积的范数等于该元素范数的平方；这个单一的恒等式使得抽象代数表现得像希尔伯特空间上的算子。
Scope
本主题涵盖巴拿赫代数和C*-代数的公理以及C*-恒等式，交换C*-代数的谱和盖尔范德理论（作为紧空间上的连续函数），连续函数演算，正性和态，盖尔范德-奈马克-西格尔构造，盖尔范德-奈马克表示定理，以及作为弱闭算子代数的冯·诺依曼代数。
Core questions
- 哪些代数和分析公理能够捕捉算子代数的结构？
- 盖尔范德理论如何将交换C*-代数与空间上的连续函数等同起来？
- 每个抽象的C*-代数如何具体地实现为希尔伯特空间上的算子？
- 态和GNS构造如何将代数与表示联系起来？
Key theories
- 交换代数的盖尔范德-奈马克定理
- 每个带单位元的交换C*-代数都与它谱（一个紧空间）上的连续函数代数等距同构，从而将交换算子代数转化为普通的函数理论。
- 盖尔范德-奈马克-西格尔构造和表示定理
- C*-代数上的每个态都会产生希尔伯特空间上的一个表示，这些共同表明任何C*-代数都与一个范数闭的算子代数等距同构，从而奠定了抽象理论的基础。
Clinical relevance
C*-代数为量子理论和量子统计力学提供了代数框架，其中可观测物构成一个代数，态是正泛函；冯·诺依曼代数对量子对称性进行分类，该主题是非交换几何和算子代数物理方法的分析基础。
History
默里和冯·诺依曼在1936年的一系列论文中创立了算子环理论，即现在的冯·诺依曼代数。盖尔范德和奈马克在1943年对C*-代数进行了公理化，并证明了它们的表示定理，从而建立了这一抽象学科。
Key figures
- Israel Gelfand
- Mark Naimark
- John von Neumann
Related topics
Seminal works
- pedersen1989
- murphy1990
Frequently asked questions
- C*-恒等式表达了什么？
- 元素与其伴随的乘积的范数等于该元素范数的平方的恒等式，将代数对合与范数紧密联系起来，使得抽象代数必然表现得与希尔伯特空间上的算子完全一致。
- 为什么交换C*-代数只是函数代数？
- 盖尔范德理论表明，交换C*-代数是其谱上的连续函数代数，因此交换算子代数可以简化为经典的拓扑和函数理论，而非交换性才是真正的量子特征。