Không gian tiếp tuyến và trường vectơ

Không gian tiếp tuyến gắn một không gian vectơ vận tốc vào mỗi điểm của một đa tạp, và một trường vectơ gán một vận tốc như vậy một cách trơn tru trên toàn bộ đa tạp, mã hóa các dòng chảy và các đối xứng vô cùng nhỏ.

Definition

Không gian tiếp tuyến tại một điểm của một đa tạp trơn là không gian vectơ của các vectơ vận tốc của các đường cong đi qua điểm đó (tương đương, các đạo hàm của các hàm trơn tại điểm đó); một trường vectơ là một phép gán trơn một vectơ tiếp tuyến cho mỗi điểm, tức là một lát cắt của bó tiếp tuyến.

Scope

Chủ đề này định nghĩa không gian tiếp tuyến — tương đương thông qua các vectơ vận tốc của các đường cong, các đạo hàm, hoặc các bộ ba tương thích chuyển đổi — và tập hợp các không gian tiếp tuyến thành bó tiếp tuyến. Nó phát triển vi phân của một ánh xạ trơn, các trường vectơ như các lát cắt của bó tiếp tuyến, các đường cong tích phân và dòng chảy của chúng, dấu ngoặc Lie và đạo hàm Lie, và định lý Frobenius về tính khả tích của các phân bố. Các không gian đối tiếp tuyến và các dạng một xuất hiện như cấu trúc đối ngẫu dẫn đến các dạng vi phân.

Core questions

• Các định nghĩa tương đương của một vectơ tiếp tuyến là gì, và tại sao chúng lại thống nhất?
• Vi phân của một ánh xạ trơn tác động lên các không gian tiếp tuyến như thế nào?
• Các trường vectơ tạo ra các dòng chảy như thế nào, và dấu ngoặc Lie đo lường điều gì về hai dòng chảy?
• Khi nào một họ các phân bố tiếp tuyến có thể được tích phân thành các đa tạp con (định lý Frobenius)?

Key concepts

• Không gian tiếp tuyến và các vectơ tiếp tuyến như các đạo hàm
• Bó tiếp tuyến và vi phân của một ánh xạ trơn
• Các trường vectơ, các đường cong tích phân và các dòng chảy
• Dấu ngoặc Lie và đạo hàm Lie
• Các phân bố và định lý khả tích Frobenius

Clinical relevance

Các vectơ tiếp tuyến và trường vectơ hình thức hóa vận tốc, lực và đối xứng vô cùng nhỏ; chúng là nền tảng cho các hệ thống động lực trên đa tạp, đại số Lie của một nhóm Lie, và các cấu trúc trắc địa và độ cong của hình học Riemann.

History

Định nghĩa nội tại, không phụ thuộc tọa độ của không gian tiếp tuyến như các đạo hàm xuất hiện vào giữa thế kỷ 20, dựa trên lý thuyết của Lie về các nhóm biến đổi liên tục và phép tính của Cartan về các dạng vi phân, mang lại cho hình học vi phân công thức hàm tử hiện đại của nó.

Key figures

• Élie Cartan
• Sophus Lie
• John M. Lee

Seminal works

• lee2012
• warner1983

Frequently asked questions

Tại sao lại định nghĩa các vectơ tiếp tuyến như các đạo hàm?

Định nghĩa đạo hàm là nội tại và không phụ thuộc tọa độ: một vectơ tiếp tuyến là một toán tử tuyến tính trên các hàm trơn thỏa mãn quy tắc Leibniz, điều này tránh việc tham chiếu đến bất kỳ phép nhúng nào và hoạt động trên các đa tạp trừu tượng.

Dấu ngoặc Lie của hai trường vectơ đo lường điều gì?

Nó đo lường sự thất bại của các dòng chảy của hai trường vectơ trong việc giao hoán; việc dấu ngoặc biến mất có nghĩa là các dòng chảy có thể được theo dõi theo bất kỳ thứ tự nào để đạt đến cùng một điểm.