Đa tạp vi phân

Đa tạp vi phân là một không gian mà cục bộ trông giống như không gian Euclid và được ghép nối với nhau bằng các phép đổi tọa độ trơn, biến nó thành môi trường mà phép tính vi tích phân có thể được thực hiện trên các không gian cong.

Definition

Một đa tạp vi phân (trơn) có chiều n là một không gian tô pô Hausdorff đếm được thứ hai được trang bị một bản đồ (atlas) của các biểu đồ (charts) đến các tập con mở của không gian Euclid n chiều mà các ánh xạ chuyển tiếp của chúng là khả vi vô hạn.

Scope

Chủ đề này định nghĩa đa tạp thông qua các bản đồ (atlas) của các biểu đồ (charts) với các ánh xạ chuyển tiếp trơn, phát triển các cấu trúc trơn, và xử lý các cấu trúc cơ bản: đa tạp con, định lý hạng và giá trị chính quy cho các tập hợp mức dưới dạng đa tạp, phân hoạch đơn vị, và nhúng vào không gian Euclid (định lý nhúng Whitney). Nó giới thiệu sự phân biệt giữa cấu trúc tô pô và cấu trúc trơn, sự tồn tại đáng ngạc nhiên của các cấu trúc trơn kỳ lạ, và các nhóm Lie như các đa tạp với các phép toán nhóm tương thích.

Core questions

• Làm thế nào các biểu đồ (charts) và các ánh xạ chuyển tiếp trơn cho phép phép tính vi tích phân được chuyển sang một không gian cong một cách rõ ràng?
• Khi nào một tập hợp mức của một ánh xạ trơn mang một cấu trúc đa tạp tự nhiên?
• Tại sao mọi đa tạp trơn đều có thể được nhúng vào một không gian Euclid nào đó?
• Làm thế nào một đa tạp tô pô đơn lẻ có thể chấp nhận các cấu trúc trơn không tương đương?

Key concepts

• Biểu đồ (charts), bản đồ (atlases), và các ánh xạ chuyển tiếp trơn
• Cấu trúc trơn và đa tạp con
• Định lý giá trị chính quy và các tập hợp mức dưới dạng đa tạp
• Phân hoạch đơn vị và định lý nhúng Whitney
• Cấu trúc tô pô so với cấu trúc trơn và các đa tạp kỳ lạ

Clinical relevance

Đa tạp là sân khấu phổ quát cho hình học và vật lý hiện đại: không gian cấu hình và không gian pha trong cơ học, không thời gian trong thuyết tương đối rộng, và các nhóm Lie trong đối xứng đều là các đa tạp, và những tinh tế về cấu trúc trơn được Milnor khám phá đã định hình lại tô pô học thế kỷ XX.

History

Khái niệm đa tạp năm 1854 của Riemann đã được làm chặt chẽ thông qua định nghĩa đầu thế kỷ 20 bằng các bản đồ (atlases); các định lý nhúng của Whitney vào những năm 1930 đã đặt nền móng cho lý thuyết trừu tượng, và khám phá năm 1956 của Milnor về các mặt cầu 7 chiều kỳ lạ đã tiết lộ rằng cấu trúc trơn mang thông tin vượt ra ngoài tô pô học.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Hassler Whitney
• John Milnor

Seminal works

• lee2012
• milnor1956

Frequently asked questions

Điều gì làm cho một đa tạp khả vi thay vì chỉ là tô pô?

Một đa tạp tô pô chỉ yêu cầu các biểu đồ (charts) đến không gian Euclid; một đa tạp khả vi bổ sung yêu cầu các ánh xạ chuyển tiếp giữa các biểu đồ chồng lấp phải trơn, để khái niệm về một hàm trơn trên đa tạp được xác định rõ ràng.

Mặt cầu kỳ lạ là gì?

Đó là một đa tạp đồng phôi nhưng không vi phôi với mặt cầu chuẩn; khám phá của Milnor về các cấu trúc như vậy trên mặt cầu 7 chiều đã chỉ ra rằng các cấu trúc trơn không được xác định bởi tô pô cơ bản.