Tính đều đặn của phân hoạch và Lý thuyết Ramsey cấu trúc

Lý thuyết Ramsey cấu trúc chỉ ra rằng bất cứ khi nào các số nguyên hoặc các cấu trúc phong phú khác được phân hoạch thành hữu hạn các lớp, một lớp phải chứa các mẫu số học hoặc tổ hợp được quy định trước.

Definition

Một hệ thống hoặc mẫu được gọi là đều đặn theo phân hoạch nếu, với mọi phân hoạch của tập hợp cơ sở thành hữu hạn các lớp, ít nhất một lớp chứa một nghiệm hoặc một thể hiện của mẫu đó; lý thuyết Ramsey cấu trúc nghiên cứu những mẫu nào có tính chất này.

Scope

Chủ đề này bao gồm tính đều đặn của phân hoạch trên các số nguyên - định lý Schur, định lý van der Waerden về cấp số cộng đơn sắc, và đặc trưng của Rado về các phương trình đều đặn theo phân hoạch - cùng với định lý Hales-Jewett, kết quả đường tổ hợp trừu tượng mà từ đó nhiều kết quả khác được suy ra. Nó đặt lý thuyết Ramsey trong tổ hợp cộng tính.

Core questions

• Những mẫu số học nào phải xuất hiện trong một lớp nào đó của bất kỳ phép tô màu hữu hạn nào của các số nguyên?
• Khi nào một phương trình tuyến tính có nghiệm đơn sắc dưới mọi phép tô màu?
• Định lý Hales-Jewett thống nhất các kết quả phân hoạch này như thế nào?
• Những kết quả này kết nối với mật độ và tổ hợp cộng tính như thế nào?

Key concepts

• Tính đều đặn của phân hoạch
• Định lý Schur
• Định lý Van der Waerden
• Định lý Rado
• Định lý Hales-Jewett
• Đường tổ hợp

Key theories

Định lý Van der Waerden

Với bất kỳ số lượng màu và độ dài mục tiêu nào, tồn tại một số nguyên N sao cho mọi phép tô màu các số nguyên từ một đến N đều chứa một cấp số cộng đơn sắc có độ dài đó.

Định lý Hales-Jewett

Trong một hình lập phương tổ hợp nhiều chiều trên một bảng chữ cái cố định, mọi phép tô màu hữu hạn đều chứa một đường tổ hợp đơn sắc, một định lý chủ đạo ngụ ý định lý van der Waerden và nhiều kết quả phân hoạch khác.

Clinical relevance

Các kết quả về tính đều đặn của phân hoạch này là những nền tảng của tổ hợp cộng tính và lý thuyết số, kết nối với định lý Szemeredi về cấp số cộng và định lý Green-Tao về số nguyên tố, và chúng cung cấp thông tin cho các lập luận về cấu trúc so với ngẫu nhiên trong toán học.

History

Định lý Schur năm 1916 và định lý van der Waerden năm 1927 về cấp số cộng đã khởi đầu lý thuyết phân hoạch của các số nguyên, được Rado hệ thống hóa và định lý Hales-Jewett năm 1963 thống nhất một cách trừu tượng.

Key figures

• Bartel van der Waerden
• Issai Schur
• Richard Rado

Seminal works

• graham1990
• landman2003

Frequently asked questions

Định lý van der Waerden đảm bảo điều gì?

Bất kể các số nguyên đến một giới hạn lớn nào đó được chia thành một vài lớp màu như thế nào, một lớp buộc phải chứa một dãy số cách đều có độ dài mong muốn.

Tại sao định lý Hales-Jewett được gọi là định lý chủ đạo?

Bởi vì định lý van der Waerden và một số kết quả phân hoạch khác được suy ra như các trường hợp đặc biệt từ phát biểu của nó về các đường tổ hợp đơn sắc.