Độ cong không thời gian và đường trắc địa

Trong thuyết tương đối rộng, vật chất làm cong không thời gian, và các hạt tự do cùng tia sáng đi theo đường trắc địa, là những con đường thẳng nhất có thể xuyên qua hình học cong đó; sự uốn cong tương đối của các đường trắc địa gần nhau là điều chúng ta cảm nhận được dưới dạng lực thủy triều hấp dẫn.

Definition

Độ cong không thời gian là sự sai lệch của hình học không thời gian so với mặt phẳng, được định lượng bằng tenxơ độ cong Riemann, và một đường trắc địa là đường thế giới của một hạt rơi tự do, thu được bằng cách dịch chuyển song song vectơ tiếp tuyến của chính nó và cực đại hóa thời gian riêng.

Scope

Chủ đề này bao gồm các đường trắc địa như các đường thế giới có độ dài cực trị và phương trình trắc địa, phép dịch chuyển song song và liên thông, tenxơ độ cong Riemann và các co rút của nó, độ lệch trắc địa như thước đo các hiệu ứng thủy triều, và cách độ cong tái tạo và hiệu chỉnh lực hấp dẫn Newton trong giới hạn trường yếu.

Core questions

• Không thời gian cong thay vì phẳng có nghĩa là gì?
• Tại sao các vật thể rơi tự do lại di chuyển dọc theo các đường trắc địa?
• Độ lệch trắc địa giải thích các lực hấp dẫn thủy triều như thế nào?

Key concepts

• Đường trắc địa
• Liên thông afin và các ký hiệu Christoffel
• Dịch chuyển song song
• Tenxơ độ cong Riemann
• Độ lệch trắc địa
• Lực thủy triều

Key theories

Phương trình trắc địa

Một hạt rơi tự do đi theo một đường trắc địa cực đại hóa thời gian riêng của nó, thỏa mãn một phương trình trong đó các hệ số liên thông mã hóa trường hấp dẫn, do đó lực hấp dẫn trở thành chuyển động quán tính trong không thời gian cong.

Độ cong Riemann và độ lệch trắc địa

Tenxơ Riemann đo sự thất bại của phép dịch chuyển song song quanh một vòng lặp và điều chỉnh cách các đường trắc địa lân cận tăng tốc về phía hoặc ra xa nhau, xác định độ cong với các lực thủy triều hấp dẫn có thể quan sát được.

Clinical relevance

Các đường trắc địa xác định quỹ đạo của các hành tinh và tàu vũ trụ trong các trường hấp dẫn tương đối tính, đường đi của ánh sáng tạo ra thấu kính hấp dẫn, và sự tiến động của các quỹ đạo như điểm cận nhật của Sao Thủy; độ cong cũng mô tả sự kéo giãn thủy triều trải nghiệm gần các vật thể đặc.

History

Hình học của các không gian cong được Gauss và Riemann tạo ra vào thế kỷ XIX; Levi-Civita và Ricci đã phát triển phép tính tenxơ và phép dịch chuyển song song vào những năm 1900, và Einstein đã áp dụng các công cụ này để diễn tả lực hấp dẫn dưới dạng độ cong, với các đường trắc địa thay thế các quỹ đạo lực của Newton.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Albert Einstein
• Tullio Levi-Civita

Seminal works

• wald1984
• mtw1973

Frequently asked questions

Nếu các đường trắc địa là những con đường thẳng nhất, tại sao các quỹ đạo lại trông cong?

Các quỹ đạo thẳng theo nghĩa là các đường trắc địa của không thời gian bốn chiều cong; độ cong rõ ràng của chúng trong không gian phát sinh vì bản thân không thời gian bị cong bởi khối lượng, do đó đường thế giới thẳng nhất cục bộ chiếu lên một đường cong trong không gian.

Độ cong được phân biệt với một lựa chọn tọa độ đơn thuần như thế nào?

Các hiệu ứng tọa độ có thể được loại bỏ bằng cách thay đổi tọa độ, nhưng độ cong thực sự xuất hiện trong tenxơ Riemann và trong độ lệch trắc địa thủy triều, những thứ không thể bị biến đổi đi và có mặt ở bất cứ nơi nào lực hấp dẫn thực sự tác động.