Tenxơ Mêtric và Hình học Vi phân

Tenxơ mêtric xác định khoảng cách và thời gian trong không-thời gian, và hình học vi phân của đa tạp cung cấp các công cụ, đạo hàm hiệp biến, liên thông và tenxơ độ cong, cần thiết để thực hiện vật lý trên một nền cong.

Definition

Tenxơ mêtric là một trường tenxơ đối xứng, không suy biến, hạng hai, xác định khoảng không-thời gian và tích vô hướng của các vectơ, từ đó suy ra liên thông tương thích mêtric không xoắn duy nhất và tất cả các đại lượng độ cong của thuyết tương đối rộng.

Scope

Chủ đề này bao gồm đa tạp và biểu đồ tọa độ, vectơ tiếp tuyến và dạng một, tenxơ mêtric và yếu tố đường, nâng và hạ chỉ số, liên thông Levi-Civita và ký hiệu Christoffel, vi phân hiệp biến, và các tenxơ độ cong (Riemann, Ricci, vô hướng) được xây dựng từ mêtric.

Core questions

• Tenxơ mêtric mã hóa tất cả thông tin hình học về không-thời gian như thế nào?
• Tại sao cần đạo hàm hiệp biến thay cho đạo hàm riêng thông thường?
• Các tenxơ độ cong được xây dựng từ mêtric như thế nào?

Key concepts

• Đa tạp và biểu đồ tọa độ
• Vectơ tiếp tuyến và dạng một
• Tenxơ mêtric và yếu tố đường
• Ký hiệu Christoffel
• Đạo hàm hiệp biến
• Độ cong Ricci và vô hướng

Key theories

Mêtric và yếu tố đường

Tenxơ mêtric xác định bình phương khoảng cách giữa các sự kiện gần nhau và tích vô hướng của các vectơ, sao cho độ dài, góc, thời gian và các mối quan hệ nhân quả đều xuất phát từ một trường tenxơ đối xứng duy nhất trên đa tạp.

Liên thông Levi-Civita và độ cong

Tính tương thích mêtric và độ xoắn bằng không chọn ra một liên thông duy nhất mà các ký hiệu Christoffel của nó xác định vi phân hiệp biến và vận chuyển song song, từ đó xây dựng các độ cong Riemann, Ricci và vô hướng.

Clinical relevance

Mêtric và giải tích tenxơ là những công cụ làm việc cho mọi dự đoán định lượng trong thuyết tương đối rộng, từ việc viết ra các nghiệm như mêtric Schwarzschild và Friedmann đến việc thực hiện các mô phỏng tương đối tính số được sử dụng để mô hình hóa các lỗ đen và sao neutron đang hợp nhất.

History

Riemann đã tổng quát hóa hình học nội tại của Gauss cho các đa tạp chiều cao hơn vào năm 1854; Christoffel, Ricci và Levi-Civita đã xây dựng giải tích vi phân tuyệt đối của tenxơ trong những thập kỷ tiếp theo, cung cấp chính xác bộ máy mà Einstein và Grossmann cần để xây dựng thuyết tương đối rộng.

Key figures

• Bernhard Riemann
• Gregorio Ricci-Curbastro
• Tullio Levi-Civita
• Elwin Bruno Christoffel

Seminal works

• wald1984
• carroll2004

Frequently asked questions

Tại sao thuyết tương đối rộng cần đạo hàm hiệp biến?

Các đạo hàm riêng thông thường của các thành phần tenxơ không biến đổi như tenxơ dưới các thay đổi tọa độ tùy ý; đạo hàm hiệp biến bổ sung các số hạng liên thông để phép vi phân tạo ra các tenxơ thực sự và các định luật vật lý giữ nguyên dạng trong tất cả các hệ tọa độ.

Mêtric là một cái gì đó vật lý hay chỉ là một sự tiện lợi về tọa độ?

Mêtric là một trường vật lý: nó là trường hấp dẫn của thuyết tương đối rộng, xác định các khoảng đo được và chuyển động của vật chất, và động lực học của nó được xác định bởi các phương trình trường Einstein chứ không phải được chọn tự do.